Exercício 5. Os dados abaixo correspondem às variáveis renda familiar, em reais, e gasto com moradia , ambos em salários mínimos, em uma amostra aleatória composta de 7 (sete) famílias:
##
## Xi 10 30 50 70 100 150 200
## Yi 6 15 20 25 40 60 80
a) Determine as estimativas dos parâmetros da regressão linear simples (modelo: ), apresente a regressão (equação) ajustada, trace a reta no diagrama de dispersão e calcule o coeficiente de determinação. Apresente os calculos para SQDx, SPDxy, SQReg e SQTotal. (Utilize pelo menos 4 casas decimais). Resposta:
b) Interprete a estimativa obtida para e para .
c) Qual a previsão de gastos com moradia para uma familia com renda de 5 salários? Resposta: Extrapolação.

Passo 1

Temos uma amostra com n=7 famílias, em que Xi é a renda familiar (em salários mínimos) e Yi é o gasto com moradia (em salários mínimos). O objetivo é ajustar o modelo de regressão linear simples
Yi = beta0 + beta1 Xi + ei
pelo método dos mínimos quadrados, calculando as estatísticas
sum Xi, sum Yi, sum Xi^2, sum XiYi, as somas de quadrados SQDx, SPDxy, SQReg, SQTotal, e daí obter beta0, beta1 e R^2.

Passo 2

Calcular as médias amostrais:
sum Xi = 610, sum Yi = 246,
bar X = 6107 = 87,1428571, bar Y = 2467 = 35,1428571

Passo 3

Calcular
SQDx = sum Xi^2 - n,bar X^2 = 80900 - 7 times (87,1428571)^2 = 27742,8571,
SPDxy = sum XiYi - n,bar X,bar Y = 32260 - 7 times 87,1428571 times 35,1428571 = 10822,8571

Passo 4

Os estimadores de mínimos quadrados são
beta1 = SPDxySQDx = 10822,857127742,8571 = 0,3901133,
beta0 = bar Y - beta1,bar X = 35,1428571 - 0,3901133 times 87,1428571 = 1,1472709
A reta ajustada é
hat Y = 1,1472709 + 0,3901133,X
(No diagrama de dispersão, traça-se essa reta.)

Passo 5

Calcular
SQReg = beta1 times SPDxy = 0,3901133 times 10822,8571 = 4222,1429,
SQTotal = sum (Yi - bar Y)^2 = 4239,4286,
e o coeficiente de determinação
R^2 = SQRegSQTotal = 4222,14294239,4286 approx 0,9959 = 99,59%

Passo 6

A estimação de beta1=0,3901133 indica que, em média, cada acréscimo de 1 salário mínimo na renda familiar eleva o gasto com moradia em cerca de 0,39 salários mínimos. O valor de R^2approx99,6% mostra que quase toda a variação observada no gasto com moradia é explicada pela variação na renda familiar.

Passo 7

Para X=5 salários mínimos,
hat Y(5) = 1,1472709 + 0,3901133 times 5 = 3,0978374
Como 5 está fora da faixa de dados originais ( min Xi=10), trata-se de extrapolação, o que torna essa previsão pouco confiável.

Resposta

beta0=1,1472709, beta1=0,3901133, R^2=99,59%
A previsão para X=5 é hat Y=3,0978 (extrapolação).

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