Determine a derivada da função. Simplifique quando possível.
y=ln (x)x^2+1

Passo 1

Estamos com a função
y = ln(x)x^2 + 1
O objetivo é encontrar y'. Para isso vamos usar:
– a derivada de ln(x);
– a derivada de x^2+1;
– e a regra do quociente, que diz
gl(uvgr)' = u',v - u,v'v^2

Passo 2

Defina
u(x) = ln(x), v(x) = x^2 + 1
Então
u'(x) = 1x, v'(x) = 2x

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2 = 1x,(x^2+1) ;-;ln(x),(2x)(x^2+1)^2

Passo 4

Agora vamos simplificar o numerador sobre um denominador comum x:
1x(x^2+1) - 2xln(x) = x^2+1x - 2x^2ln(x)x = x^2 + 1 - 2x^2ln(x)x
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y' = x^2 + 1 - 2x^2ln(x)x,(x^2+1)^2

Resposta

y' = x^2 + 1 - 2x^2ln(x)x,(x^2+1)^2

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