Exercício 1. Dado abaixo, a distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y , parcialmente indicada, responda:
Xi Yi Total
1 2
4 0.25
5 0.30 0.55
Total 1.00
a) As variáveis X e Y são independentes? Resp: Não
b) Calcule a E(X). Resp: 4.55
c) Calcule a . Resp: 1.50
d) Calcule a V(X). Resp: 0.2475
e) Calcule a . Resp: 0.0250

Passo 1

O enunciado nos dá a distribuição conjunta de X e Y em uma tabela parcialmente preenchida. Precisamos verificar se X e Y são independentes, e calcular E(X), E(Y), Var(X) e Cov(X,Y). Para isso, vamos completar os valores que faltam na tabela, obter as probabilidades marginais, e então usar as fórmulas de esperança, variância e covariância.

Passo 2

Começamos encontrando as probabilidades que faltam na tabela. Sabemos:
,P(X=4,Y=1)=0,25,
,P(X=5,Y=2)=0,30,
P(X=5)=0,55.
Logo,
P(X=5,Y=1) =0,55-0,30=0,25
Como a soma das quatro células deve ser 1,
P(X=4,Y=2) =1 - (0,25+0,25+0,30)=0,20
Com isso, as marginais são
P(X=4)=0,25+0,20=0,45, P(X=5)=0,25+0,30=0,55,
P(Y=1)=0,25+0,25=0,50, P(Y=2)=0,20+0,30=0,50

Passo 3

Para verificar independência, checamos se P(X=4,Y=1)=P(X=4),P(Y=1). Calculamos
P(X=4),P(Y=1)=0,45times0,50=0,225neq0,25=P(X=4,Y=1),
logo X e Y não são independentes.

Passo 4

A esperança de X é
E(X) =sumxx,P(X=x) =4cdot0,45+5cdot0,55 =1,8+2,75 =4,55

Passo 5

A esperança de Y é
E(Y) =1cdot0,50+2cdot0,50 =0,50+1,00 =1,50

Passo 6

Para a variância de X precisamos de E(X^2):
E(X^2) =4^2cdot0,45+5^2cdot0,55 =16cdot0,45+25cdot0,55 =7,2+13,75 =20,95
Logo
Var(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =20,95-(4,55)^2 =20,95-20,7025 =0,2475

Passo 7

Para a covariância usamos
E(XY) =sumx,yx,y,P(X=x,Y=y) =4cdot1cdot0,25+4cdot2cdot0,20+5cdot1cdot0,25+5cdot2cdot0,30 =1,00+1,60+1,25+3,00 =6,85
Portanto
Cov(X,Y) =E(XY)-E(X),E(Y) =6,85-4,55cdot1,50 =6,85-6,825 =0,025

Resposta

a) Não
b) E(X)=4,55
c) E(Y)=1,50
d) Var(X)=0,2475
e) Cov(X,Y)=0,0250

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