Determine a derivada da função. Simplifique quando possivel.
y=sec ^-1(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função inversa de secante
y = sec^-1(2x)
para isso vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de sec^-1(u).

Passo 2

Sabemos que, para y = sec^-1(u) com lvert urvert>1, vale
dydu = 1lvert urvert,raizu^2 - 1

Passo 3

Na nossa função, a parte interna é u = 2x. Logo sua derivada é
dudx = 2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dydx = dydu,dudx = 1lvert urvert,raizu^2 - 1;cdot 2 = 2lvert 2xrvert,raiz(2x)^2 - 1

Passo 5

Agora simplificamos lvert 2xrvert = 2lvert xrvert e (2x)^2 = 4x^2:
dydx = 22lvert xrvert,raiz4x^2 - 1 = 1lvert xrvert,raiz4x^2 - 1

Resposta

dydx = 1lvert xrvert,raiz4x^2 - 1

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