Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=arcsen(t) i+1raiz1+t^2 j+k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=arcsen(t),i+1raiz1+t^2,j+k
e pede r'(t). Vamos usar que a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente, aplicando regras de derivação de funções escalares.

Passo 2

Para a componente em i temos f(t)=arcsen(t). Sabendo que
ddtl(arcsen(t)r)=1raiz1-t^2,
resulta
ddtl(arcsen(t)r),i =1raiz1-t^2,i

Passo 3

Para a componente em j temos g(t)=(1+t^2)^-1/2. Aplicando a regra do poder e a cadeia,
ddtl((1+t^2)^-1/2r) =-tfrac12(1+t^2)^-3/2cdot2t =-t(1+t^2)^3/2
Logo,
ddtl((1+t^2)^-1/2r),j =-t(1+t^2)^3/2,j

Passo 4

A componente em k é constante, pois k não depende de t. Assim,
ddt(k)=0

Passo 5

Reunindo as três componentes, obtemos
r'(t) =1raiz1-t^2,i -t(1+t^2)^3/2,j + 0

Resposta

r'(t) =1raiz1-t^2,i -t(1+t^2)^3/2,j

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