Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=(t cos (3 t)) i+(sen^3 t) j+(cos ^3 t)) k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
vec r(t)=tcos(3t),vec i+sin^3t,vec j+cos^3t,vec k
e pede a derivada vec r,'(t). Para isso vamos usar duas ferramentas principais:
– regra do produto para a componente em vec i,
– regra da cadeia para as componentes em vec j e em vec k.

Passo 2

Derivando a componente em vec i, isto é, f(t)=tcos(3t), aplicamos a regra do produto:
f'(t)=underbrace1(t)'!cdotcos(3t)+tcdotunderbracel(cos(3t)r)'!-,sin(3t)cdot3 =cos(3t)-3tsin(3t)
Logo a parte em vec i de vec r,'(t) é l(cos(3t)-3tsin(3t)r)vec i.

Passo 3

Derivando a componente em vec j, g(t)=sin^3t, usamos a regra da cadeia:
g'(t)=3sin^2tcdotl(sin tr)'=3sin^2tcdotcos t
Assim a parte em vec j de vec r,'(t) é 3sin^2tcos t,vec j.

Passo 4

Derivando a componente em vec k, h(t)=cos^3t, de novo pela cadeia:
h'(t)=3cos^2tcdotl(cos tr)'=3cos^2tcdot(-sin t)=-3cos^2tsin t
Portanto a parte em vec k de vec r,'(t) é -3cos^2tsin t,vec k.

Resposta

vec r,'(t)=l(cos(3t)-3tsin(3t)r),vec i ;+;3sin^2tcos t,vec j ;-;3cos^2tsin t,vec k

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