Determine a derivada da função vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para achar a derivada da função vetorial r(t) = <t \sin t, t^{2}, t \cos 2t>. Vamos usar regra do produto e derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Para a primeira componente r_{1}(t)=t \sin t aplicamos a regra do produto: r_{1}’(t)=1\cdot\sin t + t\cdot\cos t, ou seja r_{1}’(t)=\sin t + t\cos t.
Passo 3
Para a segunda componente r_{2}(t)=t^{2} usamos a derivada de potência: r_{2}’(t)=2t.
Passo 4
Para a terceira componente r_{3}(t)=t \cos 2t aplicamos regra do produto e a derivada de \cos: r_{3}’(t)=1\cdot\cos 2t + t\cdot(-\sin 2t\cdot2), resultando em r_{3}’(t)=\cos 2t - 2t\sin 2t.
Resposta
r’(t)=<\sin t + t\cos t,;2t,;\cos 2t - 2t\sin 2t>