Se z=x y+x e^y / x, mostre que x partial zpartial x+y partial zpartial y=x y+z.

Passo 1

Vamos relembrar o enunciado: temos a função z = x y + x e^y/x e queremos mostrar que x partial zpartial x + y partial zpartial y = x y + z. Para isso vamos usar derivadas parciais e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro calculemos a derivada parcial de z em relação a x. Note que z = x y + x e^y/x. Temos
A derivada de x y em relação a x é y. Para x e^y/x usamos regra do produto e regra da cadeia:
partialpartial xl(x e^y/xr) = e^y/x + x cdot e^y/xcdotpartialpartial xl(tfracyxr) = e^y/x + x e^y/xl(-tfracyx^2r) = e^y/x - tfracyxe^y/x
Logo, juntando os termos,
partial zpartial x = y + e^y/x - tfracyxe^y/x

Passo 3

Agora calculemos a derivada parcial de z em relação a y. A derivada de x y é x e a de x e^y/x é
x cdot e^y/xcdot1x = e^y/x
Portanto
partial zpartial y = x + e^y/x

Passo 4

Multipliquemos agora pelas variáveis correspondentes e somemos:
x partial zpartial x = xl(y + e^y/x - tfracyxe^y/xr) = x y + x e^y/x - y e^y/x,
y partial zpartial y = y(x + e^y/x) = x y + y e^y/x
Somando as duas expressões:
x partial zpartial x + y partial zpartial y = (x y + x e^y/x - y e^y/x) + (x y + y e^y/x) = 2 x y + x e^y/x

Passo 5

Observe que 2 x y + x e^y/x = x y + (x y + x e^y/x) = x y + z Assim concluímos a identidade desejada.

Resposta

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = x y + z

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