Se
, mostre que
.
Passo 1
Vamos relembrar o enunciado: temos a função
e queremos mostrar que
. Para isso vamos usar derivadas parciais e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro calculemos a derivada parcial de
em relação a
. Note que
. Temos
A derivada de em relação a
é
. Para
usamos regra do produto e regra da cadeia:
Logo, juntando os termos,
A derivada de
Logo, juntando os termos,
Passo 3
Agora calculemos a derivada parcial de
em relação a
. A derivada de
é
e a de
é
Portanto
Portanto
Passo 4
Multipliquemos agora pelas variáveis correspondentes e somemos:
Somando as duas expressões:
Somando as duas expressões:
Passo 5
Observe que
Assim concluímos a identidade desejada.
Resposta
x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = x y + z