Encontre d u se u=ln (1+s e^2 t).

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total de u(s,t), ou seja, du em função de ds e dt, sabendo que u=ln(1+s e^{2t}). Vamos usar o conceito de diferencial total e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos a função em bloco para visualizar melhor:
u=lnl(1+s,e^2tr)
Para encontrar du, calculamos primeiro ∂u/∂s mantendo t constante.

Passo 3

Como u=ln(…)
partial upartial s=11+s,e^2tcdot e^2t = e^2t1+s,e^2t

Passo 4

Agora calculamos ∂u/∂t mantendo s constante. Note que dentro do ln temos 1+s e^{2t}, então aplicamos a cadeia e a derivada de e^{2t}:
partial upartial t=11+s,e^2tcdot l(s,2e^2tr)=2s,e^2t1+s,e^2t

Passo 5

Por fim, o diferencial total é
du=partial upartial s,ds+partial upartial t,dt =e^2t1+s,e^2t,ds+2s,e^2t1+s,e^2t,dt

Resposta

du=e^2t1+s,e^2t,ds+2s,e^2t1+s,e^2t,dt.

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