Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=e^t^2 i-j+ln (1+3 t) k

Passo 1

Então, temos que determinar a derivada de uma função vetorial dada por r(t)=e^t^2 i-j+ln (1+3 t) k. Vamos trabalhar com cálculo diferencial aplicado a funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como r(t) é composta por várias funções escalares multiplicadas pelos vetores unitários i, j e k. Para encontrar a derivada de r(t) em relação a t, vamos derivar cada uma dessas funções escalares separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente, e^t^2 i. Para derivar e^t^2, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a t é e^u cdot dudt, onde u = t^2. Então:
ddt e^t^2 = e^t^2 cdot 2t = 2t e^t^2

Passo 4

A segunda componente é -j. Como não há variável t nessa parte, a derivada de uma constante é zero:
ddt (-j) = 0

Passo 5

A terceira componente é ln (1+3 t) k. Para derivar ln (1+3 t), usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de ln(u) em relação a t é 1u cdot dudt, onde u = 1 + 3t. Então:
ddt ln (1+3 t) = 11+3t cdot 3 = 31+3t

Resposta

Portanto, a derivada da função vetorial r(t) é:
r,'(t) = 2t e^t^2 i + 0 j + 31+3t k
Ou simplificando:
r,'(t) = 2t e^t^2 i + 31+3t k

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