Determine a derivada:
y=e^-3 x+ln (arctg x).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo, mais especificamente sobre derivadas. O que precisamos fazer aqui é encontrar a derivada da função dada, que é y=e^-3 x+ln (arctg x). Para isso, precisamos usar as regras de derivação: a regra da soma, a regra da cadeia e a derivada de algumas funções conhecidas. Vamos em frente!

Passo 2

Começamos pela primeira parte da função: e^-3 x. Para derivar essa parte, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u, onde u é uma função qualquer, é e^u cdot u'. Aqui, u = -3x, então a derivada u' é simplesmente -3. Portanto, a derivada de e^-3 x será:
ddx(e^-3 x) = e^-3 x cdot (-3) = -3 e^-3 x

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte da função: ln(arctg(x)). Para isso, também usaremos a regra da cadeia. A derivada da função logarítmica, ln(u), é 1u cdot u'. Nesse caso, u = arctg(x), então precisamos encontrar a derivada de arctg(x).
A derivada de arctg(x) é 11+x^2. Portanto, podemos calcular a derivada de ln(arctg(x)):
ddx(ln(arctg(x))) = 1arctg(x) cdot 11+x^2

Passo 4

Juntando tudo, a derivada total da função y é a soma das derivadas que encontramos. Assim, a derivada de y fica assim:
y' = -3 e^-3 x + 1arctg(x) cdot (1+x^2)

Resposta

Então, a derivada de y=e^-3 x+ln (arctg x) é:
y' = -3 e^-3 x + 1arctg(x) cdot (1+x^2)

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