Determine a derivada:
f(x)=e^x+arcsen(x^2).

Passo 1

Neste exercício, precisamos determinar a derivada da função f(x) = e^x + arcsen(x^2). O conteúdo que estamos utilizando é cálculo diferencial, mais especificamente a regra da derivação. Para resolver, vamos precisar saber algumas regras básicas de derivação, como a derivada da função exponencial e a derivada da função arco seno.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira parte da função, que é e^x. A derivada de e^x é uma das mais simples: ela mesma! Ou seja, temos
ddx(e^x) = e^x
Então, a derivada da primeira parte é e^x.

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é arcsen(x^2). Para isso, precisamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica utilizada quando temos uma função dentro de outra. A derivada de arcsen(u), onde u é uma função de x, é dada por
ddx(arcsen(u)) = 1raiz1-u^2 cdot dudx
Neste caso, u = x^2. Vamos então calcular a derivada de u = x^2:
dudx = 2x
Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivada de arcsen(x^2):
ddx(arcsen(x^2)) = 1raiz1-(x^2)^2 cdot (2x)
Simplificando, isso fica:
2xraiz1-x^4

Passo 4

Agora que temos as derivadas das duas partes, vamos juntar tudo. A derivada da função f(x) é a soma das derivadas que encontramos:
f'(x) = e^x + 2xraiz1-x^4

Resposta

Portanto, a derivada da função f(x) é
f'(x) = e^x + 2xraiz1-x^4

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