Determine a derivada da função vetorial.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Foi dada a função vetorial
. - Observação: em português
significa .
O pedido é: determinar a derivada da função vetorial, ou seja encontrar .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
- Derivada de uma função vetorial é obtida componente a componente. Se
então
Isto significa que basta derivar cada componente escalar separadamente.
- Relembre a regra da cadeia para funções compostas: se
é uma função de e é uma função de , então
No nosso caso aparece
e
, que são composições com
.
- Derivadas básicas que usaremos:
-
. -
. -
.
-
Passo 3
Calcular as derivadas das três componentes, aplicando a regra da cadeia quando necessário.
- Primeira componente:
. Tomamos com . Usando a regra da cadeia,
- Segunda componente:
. Derivada direta:
- Terceira componente:
. Novamente com . Pela regra da cadeia,
Passo 4
Juntamos as derivadas das componentes — lembrando que a derivada vetorial é o vetor formado pelas derivadas componentes — e assim obtemos a expressão final para
(colocada abaixo na seção de resposta).