Determine a derivada da função vetorial.
r(t)-\langle\cos 3 t, t, \operatorname{sen} 3 t\rangle

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Foi dada a função vetorial \,r(t)=\langle\cos 3t,\;t,\;\operatorname{sen} 3t\rangle.
  • Observação: em português \operatorname{sen} 3t significa \sin(3t).
    O pedido é: determinar a derivada da função vetorial r(t), ou seja encontrar r'(t).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Derivada de uma função vetorial é obtida componente a componente. Se \,r(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle então
r'(t)=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle.
Isto significa que basta derivar cada componente escalar separadamente.
  • Relembre a regra da cadeia para funções compostas: se u(t) é uma função de t e F(u) é uma função de u, então
\frac{d}{dt}F(u(t))=F'(u(t))\cdot u'(t).
No nosso caso aparece \cos(3t) e \sin(3t), que são composições com u(t)=3t.
  • Derivadas básicas que usaremos:
    • \dfrac{d}{dt}[\cos u]= -\sin u\cdot u'.
    • \dfrac{d}{dt}[\sin u]= \cos u\cdot u'.
    • \dfrac{d}{dt}[t]=1.

Passo 3

Calcular as derivadas das três componentes, aplicando a regra da cadeia quando necessário.
  1. Primeira componente: f(t)=\cos 3t. Tomamos u(t)=3t com u'(t)=3. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}[\cos 3t]= -\sin(3t)\cdot 3 = -3\sin(3t).
  1. Segunda componente: g(t)=t. Derivada direta:
\frac{d}{dt}[t]=1.
  1. Terceira componente: h(t)=\sin 3t. Novamente u(t)=3t com u'(t)=3. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}[\sin 3t]= \cos(3t)\cdot 3 = 3\cos(3t).

Passo 4

Juntamos as derivadas das componentes — lembrando que a derivada vetorial é o vetor formado pelas derivadas componentes — e assim obtemos a expressão final para r'(t) (colocada abaixo na seção de resposta).

Resposta

\;r'(t)=\langle -3\sin(3t),\;1,\;3\cos(3t)\rangle

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