Faça o que se pede:
O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo OX da região B delimitada pela curva
f(x)=-1+\sqrt{x+1} \text { e as retas } x=-1 \text { e } x=3

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a função \displaystyle f(x)=-1+\sqrt{x+1}.
  • Dá as retas verticais \displaystyle x=-1 e \displaystyle x=3.
  • Pede o volume do sólido obtido ao girar a região B em torno do eixo OX.
Informações úteis extraídas dos dados (valores nos extremos e ponto de interseção com o eixo OX):
  • \displaystyle f(-1)=-1.
  • \displaystyle f(0)=0.
  • \displaystyle f(3)=1.
  • A função muda de sinal em \displaystyle x=0 (fica negativa em [-1,0) e positiva em (0,3]).
Observação (fechamento da região): a região B é a região limitada pela curva \displaystyle y=f(x), pelas retas verticais \displaystyle x=-1 e \displaystyle x=3 e pelo eixo OX (ou seja, a região entre a curva e o eixo OX para \displaystyle x\in[-1,3]).

Passo 2

Escolha do método e fórmula básica (explicação didática):
  • Quando uma região plana é girada em torno do eixo OX, uma maneira prática de calcular o volume é o método dos discos (ou anéis), que integra fatias perpendiculares ao eixo de rotação.
  • Fórmula geral (discos/aros): \displaystyle V=\pi\int_{a}^{b}\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx,
onde:
  • \displaystyle a e \displaystyle b são os limites em x,
  • \displaystyle R(x) é o raio externo (distância, em cada x, do eixo de rotação até a curva superior),
  • \displaystyle r(x) é o raio interno (distância até a curva interna, se houver um buraco).
  • No nosso caso a região está entre a curva \displaystyle y=f(x) e o eixo OX (que é y=0). Para cada x a peça que gira é um segmento entre y=0 e y=f(x). A distância ao eixo é |f(x)|. Assim:
    • \displaystyle R(x)=|f(x)| e \displaystyle r(x)=0.
    • Portanto a fórmula reduz para \displaystyle V=\pi\int_{-1}^{3}\big(|f(x)|\big)^2\,dx.
  • Como |f(x)|^2 = \big(f(x)\big)^2, podemos escrever simplesmente \displaystyle V=\pi\int_{-1}^{3}\big(f(x)\big)^2\,dx.
Explicação do uso da quadratura: mesmo que \displaystyle f(x) seja negativa em parte do intervalo, ao girar usamos a distância ao eixo (valor absoluto). Como estamos elevando ao quadrado, não precisamos separar o integral em duas partes: \big(f(x)\big)^2 já dá a mesma contribuição positiva.

Passo 3

Preparar a integral e propor substituição conveniente:
  • Substituir a expressão de \displaystyle f(x): \displaystyle f(x)=-1+\sqrt{x+1}.
  • Então a integral que precisamos calcular é \displaystyle \int_{-1}^{3}\big(-1+\sqrt{x+1}\big)^2\,dx.
  • Para simplificar a integração, fazemos a substituição natural \displaystyle t=\sqrt{x+1}. Vamos detalhar isso:
    • Se \displaystyle t=\sqrt{x+1}, então \displaystyle x=t^2-1.
    • Derivando, \displaystyle dx=2t\,dt.
    • Os limites: quando \displaystyle x=-1 temos \displaystyle t=0; quando \displaystyle x=3 temos \displaystyle t=2.

Passo 4

Executar a substituição e calcular a integral passo a passo:
  • Escrever o integrando em função de t:
    • \displaystyle f(x)=-1+\sqrt{x+1} = -1 + t.
    • Portanto \displaystyle (f(x))^2 = (t-1)^2 = t^2 - 2t + 1.
  • Substituindo na integral e trocando dx por 2t\,dt, obtemos:
\displaystyle \int_{-1}^{3}\big(f(x)\big)^2\,dx = \int_{t=0}^{2} (t^2 - 2t + 1)\cdot 2t\,dt.
  • Expandir o integrando:
\displaystyle (t^2 - 2t + 1)\cdot 2t = 2(t^3 - 2t^2 + t) = 2t^3 -4t^2 + 2t.
  • Integramos termo a termo de 0 a 2:
    • \displaystyle \int_{0}^{2} 2t^3\,dt = 2\cdot\frac{t^4}{4}\Big|_{0}^{2} = 2\cdot\frac{16}{4} = 2\cdot4 = 8.
    • \displaystyle \int_{0}^{2} (-4t^2)\,dt = -4\cdot\frac{t^3}{3}\Big|_{0}^{2} = -4\cdot\frac{8}{3} = -\frac{32}{3}.
    • \displaystyle \int_{0}^{2} 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^2}{2}\Big|_{0}^{2} = 2\cdot2 = 4.
  • Somando as partes:
\displaystyle \int_{0}^{2} (2t^3 -4t^2 + 2t)\,dt = 8 - \frac{32}{3} + 4.
  • Fazer a soma: 8+4=12, então 12 - \dfrac{32}{3} = \dfrac{36-32}{3} = \dfrac{4}{3}.
  • Portanto \displaystyle \int_{-1}^{3}\big(f(x)\big)^2\,dx = \frac{4}{3}.

Passo 5

Concluir o volume:
  • Usando a fórmula do Passo 2, multiplicamos por \pi:
\displaystyle V = \pi\cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\pi.
  • Interpretação rápida e motivação para a prova: a técnica principal aqui foi reconhecer que, ao girar em torno do eixo OX, o raio de cada disco é a distância vertical até a curva; quando a curva cruza o eixo, o quadrado elimina o sinal — isso facilita. A substituição t=\sqrt{x+1} é um truque natural porque a função envolve \sqrt{x+1} e simplifica bastante a integral.

Resposta

\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi

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