Faça o que se pede:
O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo OX da região B delimitada pela curva
O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo OX da região B delimitada pela curva
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a função
. - Dá as retas verticais
e . - Pede o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo .
Informações úteis extraídas dos dados (valores nos extremos e ponto de interseção com o eixo
):
-
. -
. -
. - A função muda de sinal em
(fica negativa em e positiva em ).
Observação (fechamento da região): a região
é a região limitada pela curva
, pelas retas verticais
e
e pelo eixo
(ou seja, a região entre a curva e o eixo
para
).
Passo 2
Escolha do método e fórmula básica (explicação didática):
- Quando uma região plana é girada em torno do eixo
, uma maneira prática de calcular o volume é o método dos discos (ou anéis), que integra fatias perpendiculares ao eixo de rotação. - Fórmula geral (discos/aros):
onde:
-
e são os limites em , -
é o raio externo (distância, em cada , do eixo de rotação até a curva superior), -
é o raio interno (distância até a curva interna, se houver um buraco). - No nosso caso a região está entre a curva
e o eixo (que é ). Para cada a peça que gira é um segmento entre e . A distância ao eixo é . Assim: -
e . - Portanto a fórmula reduz para
-
- Como
, podemos escrever simplesmente
Explicação do uso da quadratura: mesmo que
seja negativa em parte do intervalo, ao girar usamos a distância ao eixo (valor absoluto). Como estamos elevando ao quadrado, não precisamos separar o integral em duas partes:
já dá a mesma contribuição positiva.
Passo 3
Preparar a integral e propor substituição conveniente:
- Substituir a expressão de
: - Então a integral que precisamos calcular é
- Para simplificar a integração, fazemos a substituição natural
. Vamos detalhar isso: - Se
, então . - Derivando,
. - Os limites: quando
temos ; quando temos .
- Se
Passo 4
Executar a substituição e calcular a integral passo a passo:
- Escrever o integrando em função de
: -
. - Portanto
.
-
- Substituindo na integral e trocando
por , obtemos:
- Expandir o integrando:
- Integramos termo a termo de
a : -
- Somando as partes:
- Fazer a soma:
, então - Portanto
Passo 5
Concluir o volume:
- Usando a fórmula do Passo 2, multiplicamos por
:
- Interpretação rápida e motivação para a prova: a técnica principal aqui foi reconhecer que, ao girar em torno do eixo
, o raio de cada disco é a distância vertical até a curva; quando a curva cruza o eixo, o quadrado elimina o sinal — isso facilita. A substituição é um truque natural porque a função envolve e simplifica bastante a integral.