Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.
\mathbf{r}(t)=\langle\operatorname{sen} t, 3, \cos t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\mathbf{r}(t)=\langle \sin t,\;3,\;\cos t\rangle
para t real, e pede que eu esboce o gráfico da curva e indique com uma seta a direção em que o parâmetro cresce.
Informações úteis que temos:
  • As coordenadas são x(t)=\sin t, y(t)=3 (constante) e z(t)=\cos t.
  • O parâmetro t varia em (-\infty,\infty) a menos que o enunciado diga o contrário.
    As perguntas a responder: (a) qual é a forma geométrica da curva? (b) qual é a orientação (direção) quando t aumenta?

Passo 2

Eliminação do parâmetro para identificar a curva. Uso as expressões x=\sin t e z=\cos t e a identidade trigonométrica fundamental
\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Substituindo,
x^2+z^2=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Além disso temos y=3. Portanto a curva satisfaz as equações
x^2+z^2=1,\qquad y=3.
Isto mostra que a curva é um círculo de raio 1 no plano y=3.

Passo 3

Determinar centro e raio do círculo. A equação x^2+z^2=1 é o círculo de centro (0,0) no plano xz. Como temos também y=3, isso desloca esse círculo ao plano paralelo y=3. Logo o centro em coordenadas 3D é
(0,3,0)
e o raio é
1.

Passo 4

Investigar a orientação conforme t cresce. Vou listar alguns pontos para ver o sentido do movimento:
t=0:\\ \mathbf{r}(0)=\langle \sin 0,\;3,\;\cos 0\rangle=\langle 0,3,1\rangle,
t=\tfrac{\pi}{2}:\\ \mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 1,3,0\rangle,
t=\pi:\\ \mathbf{r}(\pi)=\langle 0,3,-1\rangle,
t=\tfrac{3\pi}{2}:\\ \mathbf{r}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\langle -1,3,0\rangle.
Portanto, à medida que t aumenta, o ponto passa na ordem
(0,3,1)\to(1,3,0)\to(0,3,-1)\to(-1,3,0)\to\cdots.
Isso significa que o percurso é no sentido horário quando se olha para o plano y=3 a partir do lado do eixo +y (ou seja, olhando de cima no sentido positivo de y).

Passo 5

Verificação com a derivada (opcional, mas bom para confirmar): a velocidade é
\mathbf{r}'(t)=\langle \cos t,\;0,\;- \sin t\rangle.
Em t=0 temos \mathbf{r}'(0)=\langle 1,0,0\rangle, ou seja, o vetor tangente aponta para o eixo +x no ponto (0,3,1), o que coincide com o movimento observado (0,3,1)\to(1,3,0). A norma é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}=1,
portanto o movimento tem velocidade constante igual a 1.

Passo 6

Como desenhar o esboço (passos práticos):
  • Trace os eixos x, y, z em perspectiva simples (por exemplo: x para a direita, z para cima na folha, y saindo/entrando como profundidade).
  • Marque o plano horizontal y=3 (uma “placa” paralela ao plano xz a uma altura 3 no eixo y).
  • Desenhe um círculo de raio 1 no plano y=3 com centro em (0,3,0).
  • Marque os pontos principais: (0,3,1) (topo), (1,3,0) (direita), (0,3,-1) (baixo), (-1,3,0) (esquerda).
  • Desenhe uma seta seguindo a ordem dos pontos indicada acima (mostrando o sentido horário visto do +y).
    Dica: coloque um pequeno marcador em (0,3,1) indicando t=0 para orientar quem vê o desenho.

Resposta

A curva é o círculo de centro (0,3,0) e raio 1 contido no plano y=3.
Conforme t aumenta, o ponto percorre o círculo na ordem (0,3,1)\to(1,3,0)\to(0,3,-1)\to(-1,3,0)\to\cdots, isto é, sentido horário quando visto do lado do eixo +y.

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