Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com seta a direção na qual o parâmetro cresce.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
para
real, e pede que eu esboce o gráfico da curva e indique com uma seta a direção em que o parâmetro cresce.
Informações úteis que temos:
Informações úteis que temos:
- As coordenadas são
, (constante) e . - O parâmetro
varia em a menos que o enunciado diga o contrário.
As perguntas a responder: (a) qual é a forma geométrica da curva? (b) qual é a orientação (direção) quandoaumenta?
Passo 2
Eliminação do parâmetro para identificar a curva. Uso as expressões
e
e a identidade trigonométrica fundamental
Substituindo,
Além disso temos
. Portanto a curva satisfaz as equações
Isto mostra que a curva é um círculo de raio
no plano
.
Passo 3
Determinar centro e raio do círculo. A equação
é o círculo de centro
no plano
. Como temos também
, isso desloca esse círculo ao plano paralelo
. Logo o centro em coordenadas 3D é
e o raio é
Passo 4
Investigar a orientação conforme
cresce. Vou listar alguns pontos para ver o sentido do movimento:
Portanto, à medida que
aumenta, o ponto passa na ordem
Isso significa que o percurso é no sentido horário quando se olha para o plano
a partir do lado do eixo
(ou seja, olhando de cima no sentido positivo de
).
Passo 5
Verificação com a derivada (opcional, mas bom para confirmar): a velocidade é
Em
temos
, ou seja, o vetor tangente aponta para o eixo
no ponto
, o que coincide com o movimento observado
. A norma é
portanto o movimento tem velocidade constante igual a
.
Passo 6
Como desenhar o esboço (passos práticos):
- Trace os eixos
, , em perspectiva simples (por exemplo: para a direita, para cima na folha, saindo/entrando como profundidade). - Marque o plano horizontal
(uma “placa” paralela ao plano a uma altura no eixo ). - Desenhe um círculo de raio
no plano com centro em . - Marque os pontos principais:
(topo), (direita), (baixo), (esquerda). - Desenhe uma seta seguindo a ordem dos pontos indicada acima (mostrando o sentido horário visto do
).
Dica: coloque um pequeno marcador emindicando para orientar quem vê o desenho.
Resposta
A curva é o círculo de centro
e raio
contido no plano
.
Conforme aumenta, o ponto percorre o círculo na ordem
, isto é, sentido horário quando visto do lado do eixo
.
Conforme