Determine a derivada da função vetorial.
r(t)=(t sen t, t^2, t cos 2 t)

Passo 1

Na primeira etapa, resumimos o enunciado e definimos o que vamos fazer: temos a função vetorial r(t)=(tsin t,;t^2,;tcos2t). O conteúdo é derivada de função vetorial e vamos aplicar a definição de derivada componente a componente, usando a regra do produto sempre que necessário.

Passo 2

Para a primeira componente, x(t)=tsin t, aplicamos a regra do produto: ddt(tsin t)=1cdotsin t + tcdotcos t=sin t + tcos t.

Passo 3

Para a segunda componente, y(t)=t^2, usamos a regra de potência: ddt(t^2)=2t.

Passo 4

Para a terceira componente, z(t)=tcos2t, aplicamos novamente a regra do produto e a derivada de cos2t que é -2sin2t:
ddt(tcos2t)=1cdotcos2t + tcdot(-2sin2t)=cos2t - 2tsin2t
Assim finalizamos todas as componentes da derivada.

Resposta

r'(t)=(sin t + tcos t,;2t,;cos2t - 2tsin2t)

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