Esboce o gráfico de cada função, especificando o domínio e a imagem.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer desenhar o gráfico de f(x) = |3 - |x-2||, identificando o domínio, a imagem e a forma da curva. O tema aqui é função valor absoluto em cascata.

Passo 2

Analisar o domínio: como f(x) envolve apenas valores absolutos, que estão definidos para todo x real, o domínio é ℝ. Em notação matemática, domínio = R.

Passo 3

Identificar pontos de transição: a expressão interna muda de comportamento quando |x-2| = 3. Então resolvemos |x-2| = 3, o que dá x - 2 = ±3, ou seja x = -1 e x = 5.

Passo 4

Expressar f(x) em cada intervalo definido pelos pontos de transição. Removendo os valores absolutos, obtemos:
f(x) = -x - 1, & x <= -1, 3 - |x - 2|, & -1 <= x <= 5, x - 5, & x >= 5

Passo 5

Descrever o gráfico trecho a trecho: para x ≤ -1 é reta de coeficiente angular -1, passando por (-1,0); para -1 ≤ x ≤ 5 é um “V” invertido (gráfico de 3 - |x-2|) com vértice em (2,3) e zeros em (-1,0) e (5,0); para x ≥ 5 é reta de coeficiente angular +1, passando por (5,0). Com isso você consegue esboçar o traçado completo.

Passo 6

Determinar a imagem: observamos que f(x) ≥ 0 em todos os pontos, atinge o mínimo 0 em x = -1 e x = 5, e cresce sem limite quando x → ±∞. Logo a imagem é [0, ∞).

Resposta

Domínio: R. Imagem: [0,infty).

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