Esboce o gráfico de cada função, especificando o domínio e a imagem.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer desenhar o gráfico de f(x) = |3 - |x-2||, identificando o domínio, a imagem e a forma da curva. O tema aqui é função valor absoluto em cascata.
Passo 2
Analisar o domínio: como f(x) envolve apenas valores absolutos, que estão definidos para todo x real, o domínio é ℝ. Em notação matemática, domínio = .
Passo 3
Identificar pontos de transição: a expressão interna muda de comportamento quando |x-2| = 3. Então resolvemos , o que dá x - 2 = ±3, ou seja x = -1 e x = 5.
Passo 4
Expressar f(x) em cada intervalo definido pelos pontos de transição. Removendo os valores absolutos, obtemos:
Passo 5
Descrever o gráfico trecho a trecho: para x ≤ -1 é reta de coeficiente angular -1, passando por (-1,0); para -1 ≤ x ≤ 5 é um “V” invertido (gráfico de 3 - |x-2|) com vértice em (2,3) e zeros em (-1,0) e (5,0); para x ≥ 5 é reta de coeficiente angular +1, passando por (5,0). Com isso você consegue esboçar o traçado completo.
Passo 6
Determinar a imagem: observamos que f(x) ≥ 0 em todos os pontos, atinge o mínimo 0 em x = -1 e x = 5, e cresce sem limite quando x → ±∞. Logo a imagem é [0, ∞).