- A função
definida por
é diferenciável em todo ponto do seu domínio?
Passo 1
O enunciado pergunta se a função g: ℝⁿ → ℝ, definida por g(X)=|X| (norma Euclidiana), é diferenciável em todo ponto do domínio. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de várias variáveis e vamos precisar usar a definição de derivada total e a regra da cadeia.
Passo 2
Para X ≠ 0 escrevemos |X| = \sqrt{⟨X,X⟩}. Definimos f(X)=⟨X,X⟩ e h(t)=\sqrt{t}. Temos Df(X)[H]=2⟨X,H⟩ e h’(t)=1/(2\sqrt{t}). Pela regra da cadeia:
Passo 3
Isso mostra que para X≠0 existe um operador linear Dg(X):H↦⟨X/|X|,H⟩ que satisfaz a definição de diferenciabilidade, logo g é diferenciável em todo X≠0.
Passo 4
No ponto X=0, se existisse Dg(0)=L, então deveria valer g(H)−g(0)−L(H)=|H|−L(H)=o(|H|). Mas escolhendo H em direções diferentes não há um único L que anule o resto como o(|H|). Portanto não existe derivada linear em 0.
Passo 5
Concluímos que g não é diferenciável em X=0, mas é diferenciável em todo X≠0.
Resposta
g é diferenciável em todos os pontos X≠0, com Dg(X)[H]=⟨X/|X|,H⟩, e não é diferenciável em X=0.