Determine a derivada das funções abaixo:
(c) ; f(x)=3 raizxx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, a gente vai usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a regra do quociente e também como derivar funções básicas como raízes e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o numerador e o denominador da nossa função. No caso, o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente. Para derivar u'(x) = 3 cdot 12 x^-1/2 = 32 raizx , podemos reescrever a raiz como potência: . Usando a regra da potência, a derivada é:

Passo 4

Derivando o denominador v'(x) = 1 , a derivada é simples:
Isso porque a derivada de é 1 e a derivada de uma constante é 0.

Passo 5

Agora vamos aplicar a regra do quociente, que diz:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Substituindo f'(x) = ( 32 raizx )(x + 1) - (3 raizx)(1)(x + 1)^2 na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
3(x + 1)2 raizx - 3 raizx = 3(x + 1) - 6x2 raizx = 3x + 3 - 6x2 raizx = -3x + 32 raizx = 3(1 - x)2 raizx

Passo 7

Agora, juntando tudo, a derivada fica:
f'(x) = 3(1 - x)2 raizx (x + 1)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3(1 - x)2 raizx , (x + 1)^2

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