Muitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar
no lugar de
. Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.
(a) Sejam
e
(pense aqui que
é uma função de
em que omitimos o parênteses com
e considere
. Escreva quem é
explicitamente.
(b) Nas mesmas condições do exercício acima, determine
, deixando a resposta em termos de
.
(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que
. Essa fórmula pode ser lida como “a derivada do seno de alguma coisa é a derivada da coisa vezes o cosseno da coisa”. Sem passar pela formulação da regra da cadeia original, utilize essa fórmula para determinar a derivada de
.
(d) Como você pode reobter a fórmula
a partir de
?
(e) Utilize um raciocínio análogo com
e
e descubra que
.
(f) Usando a resposta do item anterior, calcule a derivada de
.
(g) Repita a ideia para as derivadas elementares que você conhece e construa sua nova tabela de derivadas já com a regra da cadeia embutida. Após concluir o resultado, perceba que todas elas são construídas da mesma forma: substitui-se na fórmula original
por
e multiplica-se a derivada por
.
(a) Sejam
(b) Nas mesmas condições do exercício acima, determine
(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que
(d) Como você pode reobter a fórmula
(e) Utilize um raciocínio análogo com
(f) Usando a resposta do item anterior, calcule a derivada de
(g) Repita a ideia para as derivadas elementares que você conhece e construa sua nova tabela de derivadas já com a regra da cadeia embutida. Após concluir o resultado, perceba que todas elas são construídas da mesma forma: substitui-se na fórmula original
Passo 1
O enunciado pede sete coisas, numeradas (a) a (g). Vou listar claramente o que cada item solicita e quais informações são dadas:
(a) Temos
e
(aqui
é uma função de
, mas escrevemos só
). Definem
. Peço para escrever explicitamente quem é
.
(b) Nas mesmas condições, determine
, deixando a resposta em termos de
.
(c) Usando o resultado do item anterior — a fórmula
— calcule a derivada de
.
(d) Mostre como obter
a partir de
.
(e) Faça um raciocínio análogo para
com
e descubra
.
(f) Usando (e), calcule a derivada de
.
(g) Repita a ideia para outras derivadas elementares e construa uma pequena “tabela” de derivadas com a regra da cadeia embutida (ou seja: substituir
por
e multiplicar por
).
Dados relevantes: definição de composição
,
é função de
com derivada
(escrevo só
quando ficar claro que é derivada em relação a
). Não há informações ausentes.
Passo 2
Entendendo a composição e o que significa escrever
de forma explícita.
Se
e
(onde
é uma função de
), então a composição
é simplesmente "aplicar
ao valor
". Escrever isso explicitamente significa substituir o argumento
de
pela função
. Portanto
Como o enunciado identificou
por
(omitindo o parênteses), é mais explícito escrever
Isto responde o item (a) de forma direta: a composição é o seno da função
.
Passo 3
Explicando a ideia da derivada de uma composição — intuição e notação.
Quando temos
, a mudança de
quando
varia decorre de duas coisas: a mudança da função externa
em função de seu argumento, e a mudança do argumento
quando
varia. Em notação informal de diferenciais:
Dividindo por
(interpretação heurística que se torna formal pela definição de derivada), obtemos a fórmula famosa
Aqui explico o que cada símbolo significa:
-
é a derivada de em relação ao seu argumento, avaliada no ponto . -
é essa derivada da função externa avaliada no valor . -
é a derivada da função interior em relação a .
Essa é a forma usual da regra da cadeia. Vou aplicar essa ideia ao caso concreto.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia ao caso
e
(item (b)).
Sabemos que a derivada da função seno, vista como função de sua variável, é
Usando a regra da cadeia, com
, temos
Aqui
. Substituindo
dá
Em notação curta (omitindo o ``(x)’’ de
quando não causa ambiguidade),
Isto responde o item (b): a derivada de
em relação a
é
. Lembrete:
significa
.
Passo 5
Usando (b) para derivar
(item (c)) — passo a passo.
Aqui a “coisa” dentro do seno é
Primeiro calcule
: derivada termo a termo,
Somando:
Agora aplicamos a fórmula
. Substituindo
e
,
Isso resolve o item (c).
Passo 6
Como recuperar
a partir de
(item (d)).
A ideia é escolher
. Se
, então
. Aplicando a fórmula geral:
Pronto: com
a regra especializa para a forma usual.
Passo 7
Raciocínio análogo para potências: derivada de
(item (e)).
Sabemos a regra para potências quando a variável é
:
Agora, se a expressão é
, usamos a mesma ideia da cadeia: a derivada da função externa
em
é
, e multiplicamos pela derivada da função interior
. Assim
Ou escrito de outra forma,
Isso responde (e).
Passo 8
Aplicando (e) para
(item (f)).
Defina
. Calculamos
:
Logo
Pela fórmula
com
, obtemos
Podemos deixar assim ou expandir o fator numérico se quisermos; esta forma é clara e prática para a prova.
Passo 9
Construindo uma tabela de derivadas elementares com a regra da cadeia embutida (item (g)) — explicação e exemplos.
A regra prática que você deve fixar é: para obter a derivada de uma função elementar aplicada a uma “coisa”
, substitua
por
na fórmula da derivada elementar e multiplique por
. Vou listar as fórmulas mais usuais já com a cadeia:
-
-
-
-
-
-
-
-
para . -
(para ). -
(para ). -
-
(caso particular de ).
Essas fórmulas são todas obtidas pela mesma receita: derive a função elementar como se a variável fosse
, depois faça
e multiplique por
. Essa uniformidade é o que o enunciado queria que você percebesse.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) Tabela (com cadeia embutida):
,
,
,
,
,
,
,
,
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,
,
.