Muitas tabelas de derivadas não vêm com a regra da cadeia de forma explícita, ela aparece embutida nas fórmulas das derivadas elementares. Por exemplo, é muito comum você encontrar (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime} \cos u no lugar de (\operatorname{sen} x)^{\prime}=\cos x. Nesse exercício vamos aprender esse outro tipo de formulação.
(a) Sejam f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=u (pense aqui que u é uma função de x em que omitimos o parênteses com x) e considere h(x)=f(g(x)). Escreva quem é h(x) explicitamente.
(b) Nas mesmas condições do exercício acima, determine h^{\prime}(x), deixando a resposta em termos de u.
(c) Juntando os itens (a) e (b) você descobriu que (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime} \cos u. Essa fórmula pode ser lida como “a derivada do seno de alguma coisa é a derivada da coisa vezes o cosseno da coisa”. Sem passar pela formulação da regra da cadeia original, utilize essa fórmula para determinar a derivada de f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-x+1\right).
(d) Como você pode reobter a fórmula (\operatorname{sen} x)^{\prime}=\cos x a partir de (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime} \cos u ?
(e) Utilize um raciocínio análogo com f(x)=x^{n} e g(x)=u e descubra que \left(u^{n}\right)^{\prime}=n u^{\prime} u^{n-1}.
(f) Usando a resposta do item anterior, calcule a derivada de f(x)=\left(2 x^{3}-x^{2}+2\right)^{700}.
(g) Repita a ideia para as derivadas elementares que você conhece e construa sua nova tabela de derivadas já com a regra da cadeia embutida. Após concluir o resultado, perceba que todas elas são construídas da mesma forma: substitui-se na fórmula original x por u e multiplica-se a derivada por u^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede sete coisas, numeradas (a) a (g). Vou listar claramente o que cada item solicita e quais informações são dadas:
(a) Temos f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=u (aqui u é uma função de x, mas escrevemos só u). Definem h(x)=f(g(x)). Peço para escrever explicitamente quem é h(x).
(b) Nas mesmas condições, determine h'(x), deixando a resposta em termos de u.
(c) Usando o resultado do item anterior — a fórmula (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime}\cos u — calcule a derivada de f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
(d) Mostre como obter (\operatorname{sen} x)^{\prime}=\cos x a partir de (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime}\cos u.
(e) Faça um raciocínio análogo para f(x)=x^{n} com g(x)=u e descubra \bigl(u^{n}\bigr)^{\prime}=n u^{\prime} u^{\,n-1}.
(f) Usando (e), calcule a derivada de f(x)=\bigl(2x^{3}-x^{2}+2\bigr)^{700}.
(g) Repita a ideia para outras derivadas elementares e construa uma pequena “tabela” de derivadas com a regra da cadeia embutida (ou seja: substituir x por u e multiplicar por u').
Dados relevantes: definição de composição h(x)=f(g(x)), u é função de x com derivada u'(x) (escrevo só u' quando ficar claro que é derivada em relação a x). Não há informações ausentes.

Passo 2

Entendendo a composição e o que significa escrever h(x)=f(g(x)) de forma explícita.
Se f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=u (onde u é uma função de x), então a composição h(x)=f(g(x)) é simplesmente "aplicar f ao valor g(x)". Escrever isso explicitamente significa substituir o argumento x de f pela função g(x). Portanto
h(x)=\operatorname{sen}\bigl(g(x)\bigr).
Como o enunciado identificou g(x) por u (omitindo o parênteses), é mais explícito escrever
h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr).
Isto responde o item (a) de forma direta: a composição é o seno da função u(x).

Passo 3

Explicando a ideia da derivada de uma composição — intuição e notação.
Quando temos h(x)=f\bigl(g(x)\bigr), a mudança de h quando x varia decorre de duas coisas: a mudança da função externa f em função de seu argumento, e a mudança do argumento g(x) quando x varia. Em notação informal de diferenciais:
\mathrm{d}h = f'\bigl(g(x)\bigr)\,\mathrm{d}g.
Dividindo por \mathrm{d}x (interpretação heurística que se torna formal pela definição de derivada), obtemos a fórmula famosa
h'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • f'(t) é a derivada de f em relação ao seu argumento, avaliada no ponto t.
  • f'\bigl(g(x)\bigr) é essa derivada da função externa avaliada no valor g(x).
  • g'(x) é a derivada da função interior g em relação a x.
    Essa é a forma usual da regra da cadeia. Vou aplicar essa ideia ao caso concreto f(x)=\operatorname{sen} x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao caso f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=u (item (b)).
Sabemos que a derivada da função seno, vista como função de sua variável, é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\operatorname{sen} x\bigr)=\cos x.
Usando a regra da cadeia, com h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr), temos
h'(x)=\bigl(\operatorname{sen}\bigr)'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui \bigl(\operatorname{sen}\bigr)'(t)=\cos t. Substituindo t=u(x)
h'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Em notação curta (omitindo o ``(x)’’ de u quando não causa ambiguidade),
h'(x)=u'\cos u.
Isto responde o item (b): a derivada de \operatorname{sen} u em relação a x é u'\cos u. Lembrete: u' significa \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

Passo 5

Usando (b) para derivar f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-x+1\bigr) (item (c)) — passo a passo.
Aqui a “coisa” dentro do seno é
u(x)=x^{2}-x+1.
Primeiro calcule u'(x): derivada termo a termo,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(-x\bigr)=-1,\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(1\bigr)=0.
Somando:
u'(x)=2x-1.
Agora aplicamos a fórmula (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime}\cos u. Substituindo u e u',
f'(x)=(2x-1)\cos\bigl(x^{2}-x+1\bigr).
Isso resolve o item (c).

Passo 6

Como recuperar (\operatorname{sen} x)^{\prime}=\cos x a partir de (\operatorname{sen} u)^{\prime}=u^{\prime}\cos u (item (d)).
A ideia é escolher u(x)=x. Se u(x)=x, então u'(x)=1. Aplicando a fórmula geral:
\bigl(\operatorname{sen} u\bigr)'=u'\cos u \quad\Longrightarrow\quad \bigl(\operatorname{sen} x\bigr)'=1\cdot\cos x=\cos x.
Pronto: com u=x a regra especializa para a forma usual.

Passo 7

Raciocínio análogo para potências: derivada de u^{n} (item (e)).
Sabemos a regra para potências quando a variável é x:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{\,n-1}.
Agora, se a expressão é h(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{n}, usamos a mesma ideia da cadeia: a derivada da função externa t\mapsto t^{n} em t=u(x) é n u(x)^{\,n-1}, e multiplicamos pela derivada da função interior u'(x). Assim
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(u^{n}\bigr)=n u^{\,n-1}\cdot u'.
Ou escrito de outra forma,
\bigl(u^{n}\bigr)'=n u' u^{\,n-1}.
Isso responde (e).

Passo 8

Aplicando (e) para f(x)=\bigl(2x^{3}-x^{2}+2\bigr)^{700} (item (f)).
Defina u(x)=2x^{3}-x^{2}+2. Calculamos u'(x):
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(2x^{3}\bigr)=6x^{2},\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(-x^{2}\bigr)=-2x,\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(2\bigr)=0.
Logo
u'(x)=6x^{2}-2x.
Pela fórmula \bigl(u^{n}\bigr)'=n u' u^{\,n-1} com n=700, obtemos
f'(x)=700\bigl(6x^{2}-2x\bigr)\bigl(2x^{3}-x^{2}+2\bigr)^{699}.
Podemos deixar assim ou expandir o fator numérico se quisermos; esta forma é clara e prática para a prova.

Passo 9

Construindo uma tabela de derivadas elementares com a regra da cadeia embutida (item (g)) — explicação e exemplos.
A regra prática que você deve fixar é: para obter a derivada de uma função elementar aplicada a uma “coisa” u(x), substitua x por u na fórmula da derivada elementar e multiplique por u'(x). Vou listar as fórmulas mais usuais já com a cadeia:
  • \bigl(\operatorname{sen} u\bigr)'=u'\cos u.
  • \bigl(\cos u\bigr)'=-u'\operatorname{sen} u.
  • \bigl(\tan u\bigr)'=u'\operatorname{sec}^{2}u.
  • \bigl(\cot u\bigr)'=-u'\csc^{2}u.
  • \bigl(\operatorname{sec} u\bigr)'=u'\operatorname{sec} u\tan u.
  • \bigl(\csc u\bigr)'=-u'\csc u\cot u.
  • \bigl(e^{u}\bigr)'=u'e^{u}.
  • \bigl(a^{u}\bigr)'=u' a^{u}\ln a para a>0.
  • \bigl(\ln u\bigr)'=\dfrac{u'}{u} (para u>0).
  • \bigl(\log_{a}u\bigr)'=\dfrac{u'}{u\ln a} (para a>0,a\neq1).
  • \bigl(u^{n}\bigr)'=n u' u^{\,n-1}.
  • \bigl(\sqrt{u}\bigr)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}} (caso particular de u^{1/2}).
Essas fórmulas são todas obtidas pela mesma receita: derive a função elementar como se a variável fosse x, depois faça x\mapsto u(x) e multiplique por u'(x). Essa uniformidade é o que o enunciado queria que você percebesse.

Resposta

(a) h(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr)
(b) h'(x)=u'\cos u
(c) f'(x)=(2x-1)\cos\bigl(x^{2}-x+1\bigr)
(d) (\operatorname{sen} x)'=\cos x
(e) \bigl(u^{n}\bigr)'=n u' u^{\,n-1}
(f) f'(x)=700\bigl(6x^{2}-2x\bigr)\bigl(2x^{3}-x^{2}+2\bigr)^{699}
(g) Tabela (com cadeia embutida): \bigl(\operatorname{sen} u\bigr)'=u'\cos u, \bigl(\cos u\bigr)'=-u'\operatorname{sen} u, \bigl(\tan u\bigr)'=u'\operatorname{sec}^{2}u, \bigl(\cot u\bigr)'=-u'\csc^{2}u, \bigl(\operatorname{sec} u\bigr)'=u'\operatorname{sec} u\tan u, \bigl(\csc u\bigr)'=-u'\csc u\cot u, \bigl(e^{u}\bigr)'=u'e^{u}, \bigl(a^{u}\bigr)'=u' a^{u}\ln a, \bigl(\ln u\bigr)'=\dfrac{u'}{u}, \bigl(\log_{a}u\bigr)'=\dfrac{u'}{u\ln a}, \bigl(u^{n}\bigr)'=n u' u^{\,n-1}, \bigl(\sqrt{u}\bigr)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.

Exercícios relacionados