Determine a derivada das funçơes abaixo. ESCOLHA 1 item entre c) e d). OBS: Năo é necessário simplificar a expressto obtida.
d) h(x)=ln (1+cos (raizx))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=lnl(1+cos(raizx)r). Vamos usar derivada de logaritmo e regra da cadeia aplicada ao cosseno e à raiz quadrada.

Passo 2

Para derivar h(x)=ln(u(x)), lembramos que ddxln(u)=u'u. Aqui u(x)=1+cos(raizx), então precisamos derivar u(x)=1+cos(raizx). A derivada é u'(x)=-sin(raizx)cdotddx(raizx), por regra da cadeia no cosseno.

Passo 3

Para calcular ddx(raizx), escrevemos raizx=x^1/2. Logo ddx(x^1/2)=tfrac12x^-1/2=tfrac12raizx.

Passo 4

Agora substituímos u'(x) e u(x) em h'(x)=u'(x)u(x), obtendo
h'(x)=-sin(raizx)cdottfrac12raizx1+cos(raizx)=-sin(raizx)2raizx,(1+cos(raizx))

Resposta

h'(x)=-sin(raizx)2raizx,(1+cos(raizx))

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