Determine a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é produto de um polinômio
e da função exponencial
. A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicado passo a passo):
- Derivada da exponencial: para toda
,
Isto quer dizer que
é igual à própria derivada — bem prático na prova!
-
Derivada de um polinômio: se
então . Por linearidade, para temos depois. -
Regra do produto (a que vamos aplicar): se
e são funções diferenciáveis, então
Explicando com palavras: a derivada do produto é “deriva o primeiro vezes o segundo + o primeiro vezes deriva o segundo”. Exemplo rápido e concreto: se
, então
. Viu como se fatorou
no fim? Mesma ideia aqui.
Passo 3
Identificar as partes do produto na função dada:
- Tome
. - Tome
.
Agora calcule as derivadas de cada uma:
- Para
,
Expliquei: usei a regra
e
.
- Para
,
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 5
Simplificar fatorando
(prática muito útil na prova):
Organizando o polinômio em ordem decrescente de potências de
:
Passo 6
Dica de prova: identifique rapidamente o produto, calcule a derivada do polinômio (regra do expoente) e da exponencial (fica igual), aplique a regra do produto e sempre que possível fatorize o
— isso evita erros de sinais e fica mais elegante.