Determine a derivada das funções abaixo.
f(x)=\left(x^{3}+2 x\right) e^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}+2x\right)e^{x}.
Informações dadas: a função é produto de um polinômio \left(x^{3}+2x\right) e da função exponencial e^{x}. A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Derivada da exponencial: para toda x,
\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
Isto quer dizer que e^{x} é igual à própria derivada — bem prático na prova!
  • Derivada de um polinômio: se p(x)=x^{n} então \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Por linearidade, para x^{3}+2x temos depois.
  • Regra do produto (a que vamos aplicar): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando com palavras: a derivada do produto é “deriva o primeiro vezes o segundo + o primeiro vezes deriva o segundo”. Exemplo rápido e concreto: se g(x)=x^{2}e^{x}, então g'(x)=2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}=e^{x}(2x+x^{2}). Viu como se fatorou e^{x} no fim? Mesma ideia aqui.

Passo 3

Identificar as partes do produto na função dada:
  • Tome u(x)=x^{3}+2x.
  • Tome v(x)=e^{x}.
Agora calcule as derivadas de cada uma:
  • Para u(x)=x^{3}+2x,
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(2x\big)=3x^{2}+2.
Expliquei: usei a regra d(x^{n})/dx = n x^{n-1} e d(2x)/dx=2.
  • Para v(x)=e^{x},
v'(x)=e^{x}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=(3x^{2}+2)\,e^{x}+(x^{3}+2x)\,e^{x}.

Passo 5

Simplificar fatorando e^{x} (prática muito útil na prova):
f'(x)=e^{x}\big(3x^{2}+2+x^{3}+2x\big).
Organizando o polinômio em ordem decrescente de potências de x:
f'(x)=e^{x}\big(x^{3}+3x^{2}+2x+2\big).

Passo 6

Dica de prova: identifique rapidamente o produto, calcule a derivada do polinômio (regra do expoente) e da exponencial (fica igual), aplique a regra do produto e sempre que possível fatorize o e^{x} — isso evita erros de sinais e fica mais elegante.

Resposta

f'(x)=e^{x}\big(x^{3}+3x^{2}+2x+2\big)

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