Um roteador Wi-Fi com antena dipolo está na origem, alinhado ao eixo x . A intensidade do sinal segue o padrão de dipolo:
onde
é a distância ao roteador e
o ângulo com o eixo x.
Há uma parede refletora perfeita em
5 m . Um ponto
na linha
3 recebe sinais pelo caminho direto e por uma reflexão na parede.
Sabendo que a reflexão em condutor perfeito inverte a fase da onda, determine a coordenada
de
na qual ocorre interferência destrutiva total (sinal nulo).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A antena está em
, alinhada com o eixo . - A intensidade do sinal é dada por
onde é a distância ao transmissor e é o ângulo entre a direção do ponto observado e o eixo . - Há uma parede refletora perfeita no plano
. - O ponto
está na reta , ou seja . Ele recebe o sinal direto e o sinal refletido pela parede. - A reflexão em condutor perfeito inverte a fase da onda (adição de
na fase). - Pedido: determinar o valor de
para o qual há interferência destrutiva total em (sinal nulo).
Passo 2
Modelo físico e argumentos que vamos usar (explicando devagar).
- Quando duas ondas se somam, para anulação total (sinal nulo) é preciso que as amplitudes das duas ondas tenham a mesma magnitude e que a diferença de fase entre elas seja
módulo (ou seja um múltiplo ímpar de ). Se as amplitudes não são iguais, não há cancelamento total. - A intensidade
é proporcional ao quadrado da amplitude : . Assim a amplitude tem a mesma dependência funcional que . Pela fórmula dada,
- Para tratar a reflexão numa parede plana perfeita é prático usar o método da imagem: a onda refletida pode ser tratada como se viesse de uma fonte imagem obtida espelhando a fonte em
. A fonte real está em ; a imagem fica em (distância igual ao dobro da distância da fonte à parede). - A reflexão em condutor perfeito fornece um fator de fase adicional de
(inversão de fase) em relação à onda direta.
Passo 3
Escrever as distâncias e os fatores angulares para a onda direta e para a onda refletida (usando a fonte imagem).
- Distância do emissor real até
:
- Distância do emissor imagem
até :
- Para qualquer vetor que vai de uma fonte até
, o seno do ângulo com o eixo é a componente dividida pela distância. Assim:
- As amplitudes (proporcionais a
) ficam:
Passo 4
Condição de amplitudes iguais (necessária para anulação total).
- Para anulação total precisamos de
. Usando as expressões acima:
que simplifica para
- Substituindo as expressões das distâncias:
Elevo ao quadrado ambos os lados (sem me preocupar com sinal porque ambas raízes são não negativas):
Cancelo os
dos dois lados:
Isolando
:
Passo 5
Verificação da condição de fase (para garantir destrutiva total).
- A diferença de caminho entre o raio refletido e o direto é
No ponto encontrado
temos
, logo
.
- A diferença de fase devida apenas ao caminho é
(com número de onda). Como , essa contribuição é . - A reflexão na parede adiciona uma inversão de fase de
. - Portanto a diferença total de fase entre as duas ondas é
(ou seja um múltiplo ímpar de ), o que garante interferência destrutiva completa, e como já garantimos , a soma é zero.
Passo 6
Interpretação final e comentário motivador.
- A única posição na reta
onde as amplitudes chegam iguais e a diferença de fase total é é . Geometricamente é razoável: o ponto exatamente no plano refletor é equidistante da fonte real e da imagem, fazendo com que as amplitudes coincidam, e a reflexão fornece a inversão de fase necessária para anular o sinal. - Bom trabalho! Já imaginava que esse problema tinha cara de imagem + condição de igualdade de amplitudes — agora ficou claro e limpo.