Um roteador Wi-Fi com antena dipolo está na origem, alinhado ao eixo x . A intensidade do sinal segue o padrão de dipolo:
I=\frac{K \sin ^{2} \theta}{r^{2}},
onde r é a distância ao roteador e \theta o ângulo com o eixo x.
Há uma parede refletora perfeita em x= 5 m . Um ponto P=(x, 3) na linha y= 3 recebe sinais pelo caminho direto e por uma reflexão na parede.
Sabendo que a reflexão em condutor perfeito inverte a fase da onda, determine a coordenada x de P na qual ocorre interferência destrutiva total (sinal nulo).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A antena está em (0,0), alinhada com o eixo x.
  • A intensidade do sinal é dada por I=\frac{K\sin^{2}\theta}{r^{2}}, onde \,r é a distância ao transmissor e \theta é o ângulo entre a direção do ponto observado e o eixo x.
  • Há uma parede refletora perfeita no plano x=5\\ \mathrm{m}.
  • O ponto P está na reta y=3, ou seja P=(x,3). Ele recebe o sinal direto e o sinal refletido pela parede.
  • A reflexão em condutor perfeito inverte a fase da onda (adição de \pi na fase).
  • Pedido: determinar o valor de x para o qual há interferência destrutiva total em P (sinal nulo).

Passo 2

Modelo físico e argumentos que vamos usar (explicando devagar).
  • Quando duas ondas se somam, para anulação total (sinal nulo) é preciso que as amplitudes das duas ondas tenham a mesma magnitude e que a diferença de fase entre elas seja \pi módulo 2\pi (ou seja um múltiplo ímpar de \pi). Se as amplitudes não são iguais, não há cancelamento total.
  • A intensidade \,I é proporcional ao quadrado da amplitude A: \,I\propto A^{2}. Assim a amplitude tem a mesma dependência funcional que \sqrt{I}. Pela fórmula dada,
A\propto\frac{\sin\theta}{r}.
  • Para tratar a reflexão numa parede plana perfeita é prático usar o método da imagem: a onda refletida pode ser tratada como se viesse de uma fonte imagem obtida espelhando a fonte em x=5. A fonte real está em (0,0); a imagem fica em (10,0) (distância igual ao dobro da distância da fonte à parede).
  • A reflexão em condutor perfeito fornece um fator de fase adicional de \pi (inversão de fase) em relação à onda direta.

Passo 3

Escrever as distâncias e os fatores angulares para a onda direta e para a onda refletida (usando a fonte imagem).
  • Distância do emissor real até P=(x,3):
r_{\text{d}}=\sqrt{x^{2}+3^{2}}=\sqrt{x^{2}+9}.
  • Distância do emissor imagem (10,0) até P:
r_{\text{r}}=\sqrt{(x-10)^{2}+3^{2}}=\sqrt{(x-10)^{2}+9}.
  • Para qualquer vetor que vai de uma fonte até P=(x,3), o seno do ângulo com o eixo x é a componente y dividida pela distância. Assim:
\sin\theta_{\text{d}}=\frac{3}{r_{\text{d}}},\qquad \sin\theta_{\text{r}}=\frac{3}{r_{\text{r}}}.
  • As amplitudes (proporcionais a \sin\theta/r) ficam:
A_{\text{d}}\propto\frac{\sin\theta_{\text{d}}}{r_{\text{d}}}=\frac{3}{r_{\text{d}}^{2}}, \qquad A_{\text{r}}\propto\frac{\sin\theta_{\text{r}}}{r_{\text{r}}}=\frac{3}{r_{\text{r}}^{2}}.

Passo 4

Condição de amplitudes iguais (necessária para anulação total).
  • Para anulação total precisamos de |A_{\text{d}}|=|A_{\text{r}}|. Usando as expressões acima:
\frac{3}{r_{\text{d}}^{2}}=\frac{3}{r_{\text{r}}^{2}}
que simplifica para
r_{\text{d}}=r_{\text{r}}.
  • Substituindo as expressões das distâncias:
\sqrt{x^{2}+9}=\sqrt{(x-10)^{2}+9}.
Elevo ao quadrado ambos os lados (sem me preocupar com sinal porque ambas raízes são não negativas):
x^{2}+9=(x-10)^{2}+9.
Cancelo os 9 dos dois lados:
x^{2}=(x-10)^{2}=x^{2}-20x+100.
Isolando x:
0=-20x+100\quad\Rightarrow\quad 20x=100\quad\Rightarrow\quad x=5.

Passo 5

Verificação da condição de fase (para garantir destrutiva total).
  • A diferença de caminho entre o raio refletido e o direto é
\Delta r=r_{\text{r}}-r_{\text{d}}.
No ponto encontrado x=5 temos r_{\text{r}}=r_{\text{d}}, logo \Delta r=0.
  • A diferença de fase devida apenas ao caminho é k\Delta r (com k número de onda). Como \Delta r=0, essa contribuição é 0.
  • A reflexão na parede adiciona uma inversão de fase de \pi.
  • Portanto a diferença total de fase entre as duas ondas é \pi (ou seja um múltiplo ímpar de \pi), o que garante interferência destrutiva completa, e como já garantimos A_{\text{d}}=A_{\text{r}}, a soma é zero.

Passo 6

Interpretação final e comentário motivador.
  • A única posição na reta y=3 onde as amplitudes chegam iguais e a diferença de fase total é \pi é x=5. Geometricamente é razoável: o ponto exatamente no plano refletor é equidistante da fonte real e da imagem, fazendo com que as amplitudes coincidam, e a reflexão fornece a inversão de fase necessária para anular o sinal.
  • Bom trabalho! Já imaginava que esse problema tinha cara de imagem + condição de igualdade de amplitudes — agora ficou claro e limpo.

Resposta

x=5\\ \mathrm{m}

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