Questão 9. Determine se a série converge por meio do Teste da Integral:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)}
converge ou diverge, usando o Teste da Integral. Informações dadas:
A série é formada pelos termos a_n=\dfrac{1}{n(\ln n)} para n\ge 2.
Devemos aplicar o Teste da Integral (ou seja, comparar a série com a integral imprópria correspondente).
Passo 2
Lembrete didático: o Teste da Integral diz que, se f(x) é uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [N,\infty) e a_n=f(n) para n\ge N, então a série \sum_{n=N}^\infty a_n e a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento — isto é, ambas convergem ou ambas divergem.
Explicando cada condição:
“Positiva” significa f(x)>0 para x\ge N.
“Contínua” significa sem descontinuidades no intervalo [N,\infty).
“Monotonicamente decrescente” significa f'(x)\le 0 para x\ge N (ou seja, os valores não aumentam ao crescer x).
Vamos aplicar isso com f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} e N=2.
Passo 3
Verificação das condições para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} em [2,\infty):
Positividade: para x\ge 2 temos \ln x>0 e x>0, logo
f(x)=\frac{1}{x\ln x}>0.
Continuidade: f(x) é contínua em todo ponto onde x\neq 0 e \ln x\neq 0. No intervalo [2,\infty) não há singularidade, pois \ln x\neq 0 e x>0. Portanto f é contínua em [2,\infty).
Monotonicidade (decrescente): calculemos a derivada de f. Seja g(x)=x\ln x, então f(x)=g(x)^{-1} e
g'(x)=\ln x + 1.
A derivada de f é
f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2} = -\frac{\ln x + 1}{\bigl(x\ln x\bigr)^2}.
Para x\ge 2 temos \ln x>0, logo \ln x+1>0. Assim f'(x)<0 para x\ge 2, ou seja, f é decrescente nesse intervalo.
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} em [2,\infty).
Passo 4
Agora avaliamos a integral imprópria correspondente:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Fazemos a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, ou seja dx/x=du. Quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty. A integral transforma-se em
\lim_{T\to\infty} \bigl(\ln T - \ln(\ln 2)\bigr) = \infty.
Portanto a integral imprópria diverge (ou seja, é infinita).
Passo 6
Pelo Teste da Integral, como a função f(x)=\dfrac{1}{x\ln x} é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty) e a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{x\ln x}\,dx diverge, concluímos que a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)}
também diverge.
Observação didática rápida: a divergência é muito lenta — os somatórios parciais crescem como \ln(\ln n) — mas isso não impede que seja divergente.