Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que encontrar a derivada da função
. Isso tá na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e frações. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada é o mesmo que elevar a potência a
. Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Aqui, nossa função externa é
e a função interna é
.
Passo 4
Vamos derivar a função externa. Se
, então:
Passo 5
Agora, precisamos derivar a função interna
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que:
Aqui,
e
.
Passo 6
Primeiro, vamos derivar
e
:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltando à derivada da função externa multiplicada pela derivada da interna:
Podemos simplificar. Lembrando que
.
Passo 9
Substituindo de volta:
Podemos simplificar os termos:
Resposta
A derivada da função é: