Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=raiz2 x^3+5 xx^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que encontrar a derivada da função . Isso tá na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e frações. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada é o mesmo que elevar a potência a f(x) = ( 2x^3 + 5xx^2 - 2x )^12 . Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. Aqui, nossa função externa é e a função interna é .

Passo 4

Vamos derivar a função externa. Se ddu ( u^12 ) = 12 u^-12 , então:

Passo 5

Agora, precisamos derivar a função interna ddx ( AB ) = A'B - AB'B^2 . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que:
Aqui, e .

Passo 6

Primeiro, vamos derivar A' = ddx(2x^3 + 5x) = 6x^2 + 5 e B' = ddx(x^2 - 2x) = 2x - 2 :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
u' = (6x^2 + 5)(x^2 - 2x) - (2x^3 + 5x)(2x - 2)(x^2 - 2x)^2
Vamos simplificar o numerador:
(6x^2 + 5)(x^2 - 2x) = 6x^4 - 12x^3 + 5x^2 - 10x
(2x^3 + 5x)(2x - 2) = 4x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 10x
Então:
u' = 6x^4 - 12x^3 + 5x^2 - 10x - (4x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 10x)(x^2 - 2x)^2
u' = 6x^4 - 12x^3 + 5x^2 - 10x - 4x^4 + 4x^3 - 10x^2 + 10x(x^2 - 2x)^2
Simplificando:
u' = 2x^4 - 8x^3 - 5x^2(x^2 - 2x)^2

Passo 8

Agora, voltando à derivada da função externa multiplicada pela derivada da interna:
f'(x) = 12 ( 2x^3 + 5xx^2 - 2x )^-12 cdot 2x^4 - 8x^3 - 5x^2(x^2 - 2x)^2
Podemos simplificar. Lembrando que .

Passo 9

Substituindo de volta:
f'(x) = 12 cdot raizx^2 - 2x2x^3 + 5x cdot 2x^4 - 8x^3 - 5x^2(x^2 - 2x)^2
Podemos simplificar os termos:
f'(x) = 2x^4 - 8x^3 - 5x^22 (x^2 - 2x)^32 raiz2x^3 + 5x

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2x^4 - 8x^3 - 5x^22 (x^2 - 2x)^32 raiz2x^3 + 5x

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