Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=raiz(3 x^2-2 x) cdot(4 x-1)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função:
f(x) = raiz(3x^2 - 2x) cdot (4x - 1)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções compostas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Podemos expressar a raiz quadrada como uma potência:
f(x) = [(3x^2 - 2x)(4x - 1)]^12

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivadas. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta u^n é:
ddx(u^n) = n cdot u^n-1 cdot dudx

Passo 4

No nosso caso, u = (3x^2 - 2x)(4x - 1) e n = 12. Então, a derivada de f(x) será:
f'(x) = 12 cdot [(3x^2 - 2x)(4x - 1)]^-12 cdot dudx

Passo 5

Agora, vamos encontrar dudx. Como u é o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
ddx(v cdot w) = v' cdot w + v cdot w'
Aqui, v = 3x^2 - 2x e w = 4x - 1.

Passo 6

Calculamos as derivadas de v e w:
v' = ddx(3x^2 - 2x) = 6x - 2
w' = ddx(4x - 1) = 4

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
dudx = v' cdot w + v cdot w' = (6x - 2)(4x - 1) + (3x^2 - 2x)(4)

Passo 8

Vamos expandir e simplificar as expressões:
Primeiro, expandindo (6x - 2)(4x - 1):
(6x - 2)(4x - 1) = 24x^2 - 6x - 8x + 2 = 24x^2 - 14x + 2
Agora, multiplicando (3x^2 - 2x) por 4:
(3x^2 - 2x) cdot 4 = 12x^2 - 8x

Passo 9

Somando as duas partes:
dudx = 24x^2 - 14x + 2 + 12x^2 - 8x = 36x^2 - 22x + 2

Passo 10

Agora, substituímos dudx na expressão de f'(x):
f'(x) = 12 cdot [(3x^2 - 2x)(4x - 1)]^-12 cdot (36x^2 - 22x + 2)
Podemos simplificar um pouco mais escrevendo a potência negativa como uma raiz:
f'(x) = 36x^2 - 22x + 22 raiz(3x^2 - 2x)(4x - 1)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 36x^2 - 22x + 22 raiz(3x^2 - 2x)(4x - 1)

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