Simplifique ao máximo a expressão dada:
-(2 w+1)(w-2)^420+39(2 w+1)^2(w-2)^310(w-2)^4

Passo 1

Beleza, vamos simplificar essa expressão juntos! O que temos aqui é uma fração complexa envolvendo polinômios. O conteúdo que vamos usar é a simplificação de frações algébricas e o uso das propriedades de potências e fatoração. Para resolver, vamos precisar combinar os termos do numerador e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da expressão inteira:
-(2w + 1)(w - 2)^420 + 39(2w + 1)^2(w - 2)^310
Vamos simplificar cada termo separadamente. Note que ambos os termos têm fatores comuns que podemos fatorar.

Passo 3

Observamos que ambos os termos têm um fator de (w - 2)^3 ( -(2w + 1)(w - 2)20 + 39(2w + 1)^210 ) . Vamos fatorar isso:

Passo 4

Agora, simplificamos os coeficientes. Vamos encontrar um denominador comum para as frações dentro dos parênteses, que é 20:
(w - 2)^3 ( -(2w + 1)(w - 2)20 + 39 times 2(2w + 1)^220 )
= (w - 2)^3 ( -(2w + 1)(w - 2) + 78(2w + 1)^220 )

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos dentro do numerador:
Primeiro, expanda -(2w)(w) + 4w - (1)(w) + 2 = -2w^2 + 4w - w + 2 = -2w^2 + 3w + 2 :
78(4w^2 + 4w + 1) = 312w^2 + 312w + 78
Em seguida, expanda :

Passo 6

Agora, combinamos esses resultados:
-2w^2 + 3w + 2 + 312w^2 + 312w + 7820 = 310w^2 + 315w + 8020

Passo 7

Simplificamos a fração dividindo cada termo por 20:
310w^220 + 315w20 + 8020 = 15.5w^2 + 15.75w + 4
No entanto, para manter os coeficientes inteiros, podemos multiplicar numerador e denominador por 4 para eliminar os decimais:
62w^2 + 63w + 164

Passo 8

Voltando à expressão completa, temos:
(w - 2)^3 ( 62w^2 + 63w + 164 )(w - 2)^4
Podemos simplificar cancelando 62w^2 + 63w + 164(w - 2) no numerador com no denominador:

Resposta

A expressão simplificada é:
62w^2 + 63w + 164(w - 2)

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