Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=(sen x)^tg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (sin x)^tan x
O conteúdo principal é a diferenciação de funções na forma u(x)^v(x). Para resolver, vamos usar logaritmização, a regra da cadeia e as derivadas de tan x e de ln(sin x).

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência variável:
ln f(x) = tan x ,lnl(sin xr)

Passo 3

Agora diferenciamos em relação a x. No lado esquerdo, pela regra da cadeia, obtemos
f'(x)f(x)
No lado direito, aplicamos a regra do produto a tan x e ln(sin x). Como
ddxtan x = sec^2 x e ddxln(sin x) = cot x,
fica
f'(x)f(x) = sec^2 x ,lnl(sin xr) + tan x,cot x

Passo 4

Observamos que tan x,cot x = 1. Portanto
f'(x)f(x) = sec^2 x ,lnl(sin xr) + 1

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por f(x) para isolar f'(x). Como f(x)=(sin x)^tan x, temos
f'(x) = (sin x)^tan x,l(sec^2 x ,lnl(sin xr) + 1r)

Resposta

f'(x) = (sin x)^tan x,l(sec^2 x ,ln(sin x) + 1r)

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