Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=tg(4 x+15 x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=tgl(4x+15x^2r)
Aqui vamos usar o conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia), derivada de tangente e derivada de quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=4x+15x^2,
de modo que f(x)=tgl(u(x)r).
Pela regra da cadeia,
f'(x) =ddul(tg(u)r);cdot;u'(x) =sec^2l(u(x)r);cdot;u'(x),
pois ddu(tgu)=sec^2(u).

Passo 3

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente: se u(x)=A(x)B(x) então
u'(x)=B(x),A'(x)-A(x),B'(x)l(B(x)r)^2
Aqui A(x)=4x+1 e B(x)=5x^2, com
A'(x)=4, B'(x)=10x
Logo,
u'(x) =5x^2cdot4 ;-;(4x+1)cdot10x(5x^2)^2 =20x^2-(40x^2+10x)25x^4 =-20x^2-10x25x^4 =-10x(2x+1)25x^4
Simplificando 10/25=2/5 e x/x^4=1/x^3, vem
u'(x)=-2(2x+1)5x^3

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra da cadeia,
f'(x) =sec^2l(tfrac4x+15x^2r);cdot;l(-2(2x+1)5x^3r) =-2(2x+1)5x^3;sec^2!l(4x+15x^2r)

Resposta

f'(x)=-2(2x+1)5x^3,sec^2!l(4x+15x^2r)

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