Use os exercícios 7 e 8 para obter polinômios de Taylor de ordem n para f(x)=ln (1+x) e f(x)=arcsin x em torno de x0=0.

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem n centrados em x0=0 para
  1. f(x)=ln(1+x), cujo conteúdo é expansão de uma função logarítmica.
  2. f(x)=arcsin x, cujo conteúdo usa expansão binomial em (1 - x^2)^-1/2 e integração.
    Para isso vamos usar a definição de polinômio de Taylor
Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(0)k!,x^k
e, quando necessário, o desenvolvimento binomial para (1+u)^alpha.

Passo 2

Aplicando a fórmula geral a f(x)=ln(1+x):
– Derivadas em zero: para k>=1
f'(x)=11+x, f^(k)(x)=(-1)^,k-1,(k-1)!,(1+x)^-k ;Longrightarrow; f^(k)(0)=(-1)^,k-1(k-1)!
– Logo o coeficiente de x^k em Pn é
f^(k)(0)k! =(-1)^,k-1(k-1)!k! =(-1)^,k-1k

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem n para ln(1+x) fica
Pn^(ln)(x) =sumk=1^n(-1)^,k-1,x^kk

Passo 4

Para f(x)=arcsin x usamos que
ddxl(arcsin xr) =(1-x^2)^-tfrac12
Expandimos binomialmente
(1 - t)^-tfrac12 =sumk=0^inftybinom-tfrac12k(-t)^k =sumk=0^infty(2k)!4^k(k!)^2,t^k,
então, com t=x^2,
(1 - x^2)^-tfrac12 =sumk=0^infty(2k)!4^k(k!)^2,x^2k
Integrando termo a termo de 0 a x:
arcsin x =integral0^x(1 - t^2)^-tfrac12dt =sumk=0^infty(2k)!4^k(k!)^2, x^2k+12k+1

Passo 5

O polinômio de Taylor de ordem n para arcsin x retém apenas os termos com 2k+1<= n:
Pn^(arcsin)(x) =sumsubstackk>=02k+1<= n (2k)!4^k(k!)^2, x^2k+12k+1

Resposta

Pn^(ln)(x)=sumk=1^n(-1)^,k-1,x^kk
Pn^(arcsin)(x)=sumsubstackk>=02k+1<= n (2k)!4^k(k!)^2, x^2k+12k+1

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