Use os exercícios 7 e 8 para obter polinômios de Taylor de ordem
para
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem
centrados em
para
-
, cujo conteúdo é expansão de uma função logarítmica. -
, cujo conteúdo usa expansão binomial em e integração.
Para isso vamos usar a definição de polinômio de Taylor
e, quando necessário, o desenvolvimento binomial para
.
Passo 2
Aplicando a fórmula geral a
:
– Derivadas em zero: para
– Derivadas em zero: para
– Logo o coeficiente de
em
é
Passo 3
O polinômio de Taylor de ordem
para
fica
Passo 4
Para
usamos que
Expandimos binomialmente
então, com
,
Integrando termo a termo de
a
:
Passo 5
O polinômio de Taylor de ordem
para
retém apenas os termos com
: