Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^2-3 x+4 no ponto (1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = x^2 - 3x + 4 . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto f'(x) = 2x - 3 .
A função é:
Aplicando as regras de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto f'(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 . Para isso, substituímos na derivada que encontramos.
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 4

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto y - 2 = -1(x - 1) , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
y - 2 = -x + 1
y = -x + 1 + 2
y = -x + 3

Resposta

A equação da reta tangente é .

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