Seja M um ponto da parábola y=16-x^2 situado no 1^circ quadrante. Traça-se a corda horizontal MN e constrói-se o triângulo OMN, onde O é a origem do sistema cartesiano. Determine as coordenadas de M de tal forma que a área do triângulo OMN seja máxima. Calcule a área máxima.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o conteúdo: temos a parábola y=16−x² e um ponto M no 1º quadrante, traçamos a corda horizontal MN e formamos o triângulo OMN com O na origem. O objetivo é maximizar a área desse triângulo usando cálculo (derivadas).

Passo 2

Como MN é horizontal e M=(x,y) está na parábola, a corda intercepta a parábola em N simetricamente: M=(x,16−x²) e N=(−x,16−x²).

Passo 3

Para o triângulo OMN, a base é MN de comprimento 2x e a altura é y=16−x². Assim a área A(x) é dada por
A(x)=basetimesa

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x)=16−3x^2=0implies x^2=163implies x=4raiz3(>0)

Passo 5

Substituindo em y=16−x² e calculando a área máxima:
x=4raiz3, y=16−163=323,
Amax=x,(16−x^2)=4raiz3cdot323=1283raiz3=128raiz39

Resposta

As coordenadas de M são l(tfrac4raiz33,tfrac323r) e a área máxima do triângulo OMN é tfrac128raiz39.

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