Seja M um ponto da parábola
situado no
quadrante. Traça-se a corda horizontal MN e constrói-se o triângulo OMN, onde O é a origem do sistema cartesiano. Determine as coordenadas de M de tal forma que a área do triângulo OMN seja máxima. Calcule a área máxima.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e identificar o conteúdo: temos a parábola y=16−x² e um ponto M no 1º quadrante, traçamos a corda horizontal MN e formamos o triângulo OMN com O na origem. O objetivo é maximizar a área desse triângulo usando cálculo (derivadas).
Passo 2
Como MN é horizontal e M=(x,y) está na parábola, a corda intercepta a parábola em N simetricamente: M=(x,16−x²) e N=(−x,16−x²).
Passo 3
Para o triângulo OMN, a base é MN de comprimento 2x e a altura é y=16−x². Assim a área A(x) é dada por
Passo 4
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 5
Substituindo em y=16−x² e calculando a área máxima:
Resposta
As coordenadas de M são
e a área máxima do triângulo OMN é
.