Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
. Vamos precisar analisar domínio, simetria, interceptos, assíntotas, monotonicidade, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Para determinar o domínio, exigimos o argumento da raiz não negativo e denominador diferente de zero, ou seja,
e
. Resolvendo a desigualdade: o numerador
sempre, o denominador
é positivo se
e negativo se
. Assim,
ocorre para
e em
(onde a fração vale 0). Excluindo
, o domínio é
Passo 3
Verificamos simetria comparando
e
. Como
é par e a raiz positiva, temos
, logo a função é par. O único intercepto com o eixo
é em
, onde
.
Passo 4
Assíntotas verticais surgem quando o denominador vai a zero:
em
. Assíntota horizontal em
, pois
Passo 5
Analisando os limites perto das assíntotas: em
, o denominador
faz
. Em
, de modo análogo,
.
Passo 6
Para monotonicidade, escrevemos em cada ramo:
Logo a função é decrescente em
Passo 7
Para concavidade, calculamos a segunda derivada em cada ramo. Em
obtemos
e em
Passo 8
Esboço do gráfico: dois ramos simétricos em torno do eixo
: um para
, que cresce de
(quando
) até
(em
), e outro para
, que decresce de
(quando
) até
(em
), ficando sempre côncavo para cima. Além disso, há um ponto isolado em
.
Resposta
Domínio:
.
Função par com intercepto em .
Assíntotas verticais em e horizontal em
.
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
.
Concavidade para cima em todos os ramos.
Gráfico: dois ramos simétricos e ponto isolado em .
Função par com intercepto em
Assíntotas verticais em
Monotonicidade: crescente em
Concavidade para cima em todos os ramos.
Gráfico: dois ramos simétricos e ponto isolado em