Nos itens abaixo, efetue o estudo completo da função dada e, a seguir, esboce seu gráfico;
f(x)=raizx^2x^2-4

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função f(x)=raizx^2x^2-4. Vamos precisar analisar domínio, simetria, interceptos, assíntotas, monotonicidade, concavidade e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para determinar o domínio, exigimos o argumento da raiz não negativo e denominador diferente de zero, ou seja, x^2x^2-4>=0 e x^2-4neq0. Resolvendo a desigualdade: o numerador x^2>=0 sempre, o denominador x^2-4 é positivo se |x|>2 e negativo se |x|<2. Assim, x^2x^2-4>=0 ocorre para |x|>2 e em x=0 (onde a fração vale 0). Excluindo x=pm2, o domínio é
D=(-infty,-2)cup0cup(2,infty)

Passo 3

Verificamos simetria comparando f(-x) e f(x). Como x^2 é par e a raiz positiva, temos f(-x)=f(x), logo a função é par. O único intercepto com o eixo x é em x=0, onde f(0)=0.

Passo 4

Assíntotas verticais surgem quando o denominador vai a zero: x^2-4=0 em x=pm2. Assíntota horizontal em y=1, pois
limxtopminftyf(x)=limxtopminftyraizx^2x^2-4=1

Passo 5

Analisando os limites perto das assíntotas: em xto2^+, o denominador (x^2-4)to0^+ faz f(x)to+infty. Em xto-2^-, de modo análogo, f(x)to+infty.

Passo 6

Para monotonicidade, escrevemos em cada ramo:
f(x)=xraizx^2-4, f'(x)=-4(x^2-4)^3/2<0(x>2)
f(x)=-xraizx^2-4, f'(x)=4(x^2-4)^3/2>0(x<-2)
Logo a função é decrescente em (2,infty) e crescente em .

Passo 7

Para concavidade, calculamos a segunda derivada em cada ramo. Em x>2 obtemos
f''(x)=12x(x^2-4)^5/2>0,
e em x<-2
f''(x)=-12x(x^2-4)^5/2>0 (já que x<0). Logo, em ambos os ramos a função é côncava para cima.

Passo 8

Esboço do gráfico: dois ramos simétricos em torno do eixo y: um para x<-2, que cresce de y=1 (quando xto-infty) até +infty (em xto-2^-), e outro para x>2, que decresce de +infty (quando xto2^+) até y=1 (em xto+infty), ficando sempre côncavo para cima. Além disso, há um ponto isolado em (0,0).

Resposta

Domínio: (0,0).
Função par com intercepto em x=pm2.
Assíntotas verticais em y=1 e horizontal em (2,infty).
Monotonicidade: crescente em (0,0), decrescente em .
Concavidade para cima em todos os ramos.
Gráfico: dois ramos simétricos e ponto isolado em .

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