Determine a derivada das funções abaixo, nos respectivos domínios de definição:
f(z)=z sen^2(3 z)+(2+i) e^z^2,

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função complexa f(z)=z,sin^2(3z)+(2+i)e^z^2. Isso envolve as regras de derivação de produto (para z,sin^2(3z)), cadeia (para sin^2(3z)) e exponencial (para e^z^2). A função é inteira, logo definida em todo C.

Passo 2

Vamos derivar sin^2(3z) usando a regra da cadeia. Primeiro note que g(u)=sin^2(u) tem g'(u)=2sin(u)cos(u) e a função interna u(z)=3z tem u'(z)=3. Assim,
ddzl(sin^2(3z)r)=2sin(3z)cos(3z)cdot3=6sin(3z)cos(3z)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em zcdotsin^2(3z). Se h(z)=z e k(z)=sin^2(3z), então
ddzl(z,sin^2(3z)r)=h'(z)k(z)+h(z)k'(z)=1cdotsin^2(3z)+zcdot6sin(3z)cos(3z)

Passo 4

Para o termo (2+i)e^z^2, a constante 2+i sai da derivada e usamos que ddze^z^2=2z e^z^2 pela regra da cadeia. Logo,
ddzl((2+i)e^z^2r)=(2+i)cdot2z e^z^2=2z(2+i)e^z^2

Passo 5

Somando as duas partes, chegamos à expressão final de f'(z).

Resposta

f'(z)=sin^2(3z)+6z,sin(3z)cos(3z)+2z(2+i)e^z^2

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