Escreva as seguintes funções como f(z)=f(x+y i)= u(x, y)+i v(x, y) :
f(z)=e^z^2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função complexa f(z)=e{z2} na forma f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y). O assunto é exponencial de número complexo e vamos precisar usar a definição de exponencial e a fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro calculamos z^2 quando z=x+iy. Aplicando a álgebra de números complexos, temos:
z^2=(x+iy)^2=x^2 - y^2 + 2i x y

Passo 3

Agora aplicamos a função exponencial a esse resultado. Ou seja,
e^z^2=e^x^2 - y^2 + 2i x y=e^x^2 - y^2,e^2i x y

Passo 4

Pela fórmula de Euler, e^itheta=costheta + isintheta, podemos escrever
e^2i x y=cos(2xy)+isin(2xy)

Passo 5

Multiplicando tudo, obtemos

Passo 6

Portanto, identificamos as partes real e imaginária: u(x,y)=e{x2-y^2}cos(2xy) e v(x,y)=e{x2-y^2}sin(2xy).

Resposta

u(x,y)=e{x{2}-y^{2}}\cos\bigl(2xy),\quad v(x,y)=e{x{2}-y^{2}}\sin\bigl(2xy)

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