Escreva as seguintes funções como
:
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função complexa f(z)=e{z2} na forma f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y). O assunto é exponencial de número complexo e vamos precisar usar a definição de exponencial e a fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro calculamos z^2 quando z=x+iy. Aplicando a álgebra de números complexos, temos:
Passo 3
Agora aplicamos a função exponencial a esse resultado. Ou seja,
Passo 4
Pela fórmula de Euler,
, podemos escrever
Passo 5
Multiplicando tudo, obtemos
Passo 6
Portanto, identificamos as partes real e imaginária: u(x,y)=e{x2-y^2}cos(2xy) e v(x,y)=e{x2-y^2}sin(2xy).
Resposta
u(x,y)=e{x{2}-y^{2}}\cos\bigl(2xy),\quad v(x,y)=e{x{2}-y^{2}}\sin\bigl(2xy)