Sabendo que sen(z)=e^i z-e^-i z2 i e cos (z)=e^i z+e^-i z2, verifique que:
dd zsen(z)=cos (z) e dd zcos (z)=-sen(z)

Passo 1

Primeiro, resumo o que temos e o que vamos usar: o enunciado pede para mostrar que usando as definições via exponenciais complexas de sin(z) e cos(z) a gente recupera as derivações clássicas. Vamos precisar da regra de derivação de e^a z, que é básica em funções de variável complexa.
A regra geral de derivação é: se f(z)=e^a z, então
ddze^a z=a,e^a z
para qualquer constante complexa a. Essa fórmula vale exatamente como no caso real, pois tratamos z como variável complexa.

Passo 2

Agora, aplicamos isso a sin(z). Temos
sin(z)=e^i z-e^-i z2i

Passo 3

Derivando termo a termo:
ddzsin(z)=12il(i e^i z-(-i)e^-i zr)
Aqui usamos d(e^i z)/dz=i e^i z e d(e^-i z)/dz=-i e^-i z. Agora simplificamos:
$$\frac{d}{dz}\sin(z)=\frac{1}{2i}\bigl(i e^{i z}+i e^{-i z}\bigr)
=\frac{i}{2i}\bigl(e^{i z}+e^{-i z}\bigr)
=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}
=\cos(z).$$

Passo 4

Em seguida, fazemos o mesmo para cos(z). Partimos de
cos(z)=e^i z+e^-i z2

Passo 5

Derivando:
ddzcos(z)=12l(i e^i z-i e^-i zr) =i2l(e^i z-e^-i zr) =i2cdot2i,e^i z-e^-i z2i =-e^i z-e^-i z2i =-sin(z)

Passo 6

Pronto! Chegamos exatamente nas fórmulas que queríamos.

Resposta

ddzsin(z)=cos(z) e ddzcos(z)=-sin(z).

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