Sabendo que
e
, verifique que:
e
Passo 1
Primeiro, resumo o que temos e o que vamos usar: o enunciado pede para mostrar que usando as definições via exponenciais complexas de
e
a gente recupera as derivações clássicas. Vamos precisar da regra de derivação de
, que é básica em funções de variável complexa.
A regra geral de derivação é: se , então
A regra geral de derivação é: se
para qualquer constante complexa
Passo 2
Agora, aplicamos isso a
. Temos
Passo 3
Derivando termo a termo:
Aqui usamos
$$\frac{d}{dz}\sin(z)=\frac{1}{2i}\bigl(i e^{i z}+i e^{-i z}\bigr)
=\frac{i}{2i}\bigl(e^{i z}+e^{-i z}\bigr)
=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}
=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}
=\cos(z).$$
Passo 4
Em seguida, fazemos o mesmo para
. Partimos de
Passo 5
Derivando:
Passo 6
Pronto! Chegamos exatamente nas fórmulas que queríamos.