Determine a derivada das funções compostas a seguir;
y=\left(\operatorname{arcsen} x^{2}\right) \cdot(\operatorname{arccos} (3 x+1))-\frac{\cos x}{\operatorname{arccos} x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
y=\left(\operatorname{arcsen} x^{2}\right)\cdot\big(\operatorname{arccos}(3x+1)\big)-\frac{\cos x}{\operatorname{arccos} x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\begin{aligned} &\text{Função 1 (produto):}\quad f(x)=\operatorname{arcsen}(x^{2})\quad\text{e}\quad g(x)=\operatorname{arccos}(3x+1).\\\ &\text{Função 2 (razão):}\quad h(x)=\frac{\cos x}{\operatorname{arccos} x},\\ \text{com sinal negativo na expressão original.} \end{aligned}çãçããã
Nós precisamos calcular y'= derivada de toda essa expressão. Não vou resolver nada ainda além de identificar o que é pedido.

Passo 2

Revisão das regras/ fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  1. Regra do produto: para u(x) e v(x),
( u\cdot v)' = u'\,v + u\,v'.
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some com a primeira vezes a derivada da segunda.
  1. Regra da cadeia (essencial para funções compostas): se F(x)=\varphi(\psi(x)), então
F'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Ou seja, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna.
  1. Derivadas das funções trigonométricas e inversas que aparecem aqui:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\arcsin u\big)=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}} (pela regra da cadeia; aqui u é a função interna).
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos} u\big)=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.
  1. Regra do quociente: para p(x)/q(x),
\left(\frac{p}{q}\right)'=\frac{p' q - p q'}{q^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \operatorname{arcsen}(x^{2})\cdot\operatorname{arccos}(3x+1) usando a regra do produto.
Defino
u(x)=\operatorname{arcsen}(x^{2}),\qquad v(x)=\operatorname{arccos}(3x+1).
Primeiro calculo u'(x). Aqui a função externa é \operatorname{arcsen}(t) com t=x^{2}. Pela regra da cadeia:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen}(x^{2})\big)=\frac{(x^{2})'}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}.
Calculando (x^{2})' = 2x e simplificando o radicando:
u'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 4

Agora calculo v'(x). Aqui a função externa é \operatorname{arccos}(t) com t=3x+1. Pela regra da cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos}(3x+1)\big)=-\frac{(3x+1)'}{\sqrt{1-(3x+1)^{2}}}.
Como (3x+1)'=3, obtemos
v'(x)=-\frac{3}{\sqrt{1-(3x+1)^{2}}}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\Big(\operatorname{arcsen}(x^{2})\cdot\operatorname{arccos}(3x+1)\Big) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que já achamos:
\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\operatorname{arccos}(3x+1)\;+\;\operatorname{arcsen}(x^{2})\cdot\Big(-\frac{3}{\sqrt{1-(3x+1)^{2}}}\Big).
Ou seja,
\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\operatorname{arccos}(3x+1)\;-\;\operatorname{arcsen}(x^{2})\cdot\frac{3}{\sqrt{1-(3x+1)^{2}}}.

Passo 6

Agora derivada da segunda parcela -\dfrac{\cos x}{\operatorname{arccos} x}.
Primeiro derive q(x)=\dfrac{\cos x}{\operatorname{arccos} x} e ao final multiplicamos por -1 por causa do sinal inicial.
Use a regra do quociente com p(x)=\cos x e r(x)=\operatorname{arccos} x.
Calculamos p'(x)=-\sin x e r'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} (pela fórmula da derivada da \operatorname{arccos} com u=x).
Pelo quociente:
q'(x)=\frac{p'(x)\,r(x)-p(x)\,r'(x)}{[r(x)]^{2}} =\frac{(-\sin x)\,\operatorname{arccos} x - \cos x\big(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\big)}{(\operatorname{arccos} x)^{2}}.
Simplificando sinais:
q'(x)=\frac{-\sin x\;\operatorname{arccos} x + \dfrac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{(\operatorname{arccos} x)^{2}}.
Mas como a parcela na função original é -q(x), sua derivada será -q'(x). Portanto
\frac{d}{dx}\Big(-\frac{\cos x}{\operatorname{arccos} x}\Big) = -q'(x) = -\frac{-\sin x\;\operatorname{arccos} x + \dfrac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{(\operatorname{arccos} x)^{2}}.
Multiplicando o sinal:
\frac{d}{dx}\Big(-\frac{\cos x}{\operatorname{arccos} x}\Big) =\frac{\sin x\;\operatorname{arccos} x - \dfrac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{(\operatorname{arccos} x)^{2}}.

Passo 7

Juntando tudo: a derivada y' é a soma da derivada do produto (Passo 5) com a derivada do termo negativo (Passo 6). Assim
\begin{aligned} y'={}&\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\operatorname{arccos}(3x+1) -\operatorname{arcsen}(x^{2})\cdot\frac{3}{\sqrt{1-(3x+1)^{2}}}\\[6pt] &\;+\;\frac{\sin x\;\operatorname{arccos} x - \dfrac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{(\operatorname{arccos} x)^{2}}. \end{aligned}
Esta é a expressão final da derivada, obtida aplicando produto, cadeia e quociente passo a passo.
Observação sobre domínio (útil na prova): para que todas as derivadas existam os radicandos e denominadores devem ser válidos. Em particular é necessário que |3x+1|\le 1 (para \operatorname{arccos}(3x+1) existir), ou seja -\tfrac{2}{3}\le x\le 0; além disso não podemos ter \operatorname{arccos} x=0 (pois aparece no denominador), nem denominadores de raízes iguais a zero. Portanto a derivada está bem definida nos pontos internos onde os denominadores das raízes não se anulam (por exemplo no intervalo -\tfrac{2}{3}<x<0 excetuando pontos onde algum \sqrt{\cdot} zere). Se estiver fazendo exercício de prova, indique explicitamente essas restrições.]

Resposta

y'=\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\,\operatorname{arccos}(3x+1)-\operatorname{arcsen}(x^{2})\cdot\frac{3}{\sqrt{1-(3x+1)^{2}}} +\frac{\sin x\;\operatorname{arccos} x-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1-x^{2}}}}{(\operatorname{arccos} x)^{2}}.

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