Determine a derivada das funções compostas a seguir;
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
Nós precisamos calcular
derivada de toda essa expressão. Não vou resolver nada ainda além de identificar o que é pedido.
Passo 2
Revisão das regras/ fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Regra do produto: para
e ,
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some com a primeira vezes a derivada da segunda.
- Regra da cadeia (essencial para funções compostas): se
, então
Ou seja, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna.
- Derivadas das funções trigonométricas e inversas que aparecem aqui:
-
-
(pela regra da cadeia; aqui é a função interna). -
- Regra do quociente: para
,
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
usando a regra do produto.
Defino
Defino
Primeiro calculo
. Aqui a função externa é
com
. Pela regra da cadeia:
Calculando
e simplificando o radicando:
Passo 4
Agora calculo
. Aqui a função externa é
com
. Pela regra da cadeia:
Como
, obtemos
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
que já achamos:
Ou seja,
Passo 6
Agora derivada da segunda parcela
.
Primeiro derive e ao final multiplicamos por
por causa do sinal inicial.
Use a regra do quociente com e
.
Calculamos e
(pela fórmula da derivada da
com
).
Pelo quociente:
Primeiro derive
Use a regra do quociente com
Calculamos
Pelo quociente:
Simplificando sinais:
Mas como a parcela na função original é
, sua derivada será
. Portanto
Multiplicando o sinal:
Passo 7
Juntando tudo: a derivada
é a soma da derivada do produto (Passo 5) com a derivada do termo negativo (Passo 6). Assim
Esta é a expressão final da derivada, obtida aplicando produto, cadeia e quociente passo a passo.
Observação sobre domínio (útil na prova): para que todas as derivadas existam os radicandos e denominadores devem ser válidos. Em particular é necessário que
(para
existir), ou seja
; além disso não podemos ter
(pois aparece no denominador), nem denominadores de raízes iguais a zero. Portanto a derivada está bem definida nos pontos internos onde os denominadores das raízes não se anulam (por exemplo no intervalo
excetuando pontos onde algum
zere). Se estiver fazendo exercício de prova, indique explicitamente essas restrições.]