Esboce os conjuntos dados e determine quais são domínios.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o conjunto definido por $ |z - 2 + i| \leq 1 $ e determinar se esse conjunto é um domínio. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, então vamos usar o plano complexo para visualizar isso. Para resolver, precisamos entender o que essa expressão representa geometricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão $ |z - 2 + i| \leq 1 $ de uma forma mais simples. Sabemos que $ z = x + iy $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. Então, podemos reescrever a expressão assim:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, o valor absoluto de um número complexo $ a + ib $ é a distância desse ponto até a origem no plano complexo, dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $. Aplicando isso aqui:
Passo 4
Para facilitar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado:
Isso representa a equação de um círculo com centro no ponto $ (2, -1) $ e raio igual a 1 no plano $ xy $.
Passo 5
Agora, vamos esboçar esse conjunto no plano complexo (ou no plano cartesiano, já que usamos $ x $ e $ y $ para representar as partes real e imaginária). Desenhamos um círculo com centro em $ (2, -1) $ e raio 1. A área preenchida dentro e sobre o círculo representa todos os pontos $ z $ que satisfazem a desigualdade $ |z - 2 + i| \leq 1 $.
Passo 6
Para determinar se esse conjunto é um domínio, precisamos lembrar que, em análise complexa, um domínio é um conjunto aberto e conexo. Aberto significa que ele não inclui sua fronteira, e conexo significa que está todo em uma única peça, sem partes separadas.
No nosso caso, a desigualdade $ \leq 1 $ inclui a fronteira do círculo, tornando o conjunto fechado, não aberto. Portanto, ele não é um domínio.
Resposta
O conjunto $ |z - 2 + i| \leq 1 $ é um círculo no plano complexo com centro em (2, -1) e raio 1. Como inclui sua fronteira, não é um domínio.