Determine a derivada das funçöes envolvendo funçöes trigonométricas.
f(x)=(e^x-1) sec x+sen xe^x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função que envolve exponenciais e funções trigonométricas. A função que vamos derivar é:
f(x) = (e^x - 1) sec x + sen,xe^x + 1
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra do quociente, além de saber derivar funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a derivação:
  1. Primeira parte:
  2. Segunda parte:
Vamos derivar cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Derivando a primeira parte (uv)' = u'v + uv' :
Aqui, temos um produto de duas funções: u'(x) = (e^x) cdot sec x + (e^x - 1) cdot sec x tan x e . Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
  • Derivada de :
    • A derivada de é
    • A derivada de é 0
    • Então,
  • Derivada de :
    • A derivada de é
Aplicando a regra:

Passo 4

Derivando a segunda parte (uv)' = u'v - uv'v^2 :
Aqui, temos um quociente de duas funções: v'(x) = cos,x cdot (e^x + 1) - sen,x cdot e^x(e^x + 1)^2 (numerador) e (denominador). Para derivar um quociente, usamos a Regra do Quociente, que diz:
  • Derivada de :
    • A derivada de é
  • Derivada de :
    • A derivada de é
    • A derivada de é 0
    • Então,
Aplicando a regra:

Passo 5

Agora, vamos juntar as derivadas das duas partes para encontrar a derivada total da função f'(x) = u'(x) + v'(x) :
f'(x) = e^x sec x + (e^x - 1) sec x tan x + cos,x (e^x + 1) - sen,x e^x(e^x + 1)^2
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = e^x sec x + (e^x - 1) sec x tan x + cos,x (e^x + 1) - sen,x e^x(e^x + 1)^2

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