Calcule os limites: lim x a x^m-a^mx^n-a^n

Passo 1

Estamos com o enunciado: calcular limxto ax^m-a^mx^n-a^n. O conteúdo é limite de função envolvendo polinômios e vamos precisar usar a fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Lembrando que para inteiros positivos k vale a fatoração
x^k-a^k=(x-a)l(x^k-1+x^k-2a+cdots+xa^k-2+a^k-1r)
Aplicamos essa identidade ao numerador e ao denominador:

Passo 3

Temos então
x^m-a^mx^n-a^n=(x-a)l(x^m-1+x^m-2a+cdots+a^m-1r)(x-a)l(x^n-1+x^n-2a+cdots+a^n-1r)
Cancelamos o fator x-a, válido para xneq a.

Passo 4

Agora o limite xto a fica
limxto ax^m-1+x^m-2a+cdots+a^m-1x^n-1+x^n-2a+cdots+a^n-1
Substituindo x=a em cada soma de termos, cada soma de m termos iguais a a^m-1 vira m,a^m-1, e a soma de n termos iguais a a^n-1 vira n,a^n-1.

Passo 5

Portanto o valor do limite é
m,a^m-1n,a^n-1=mn,a^m-n

Resposta

dfracmn,a^m-n

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