Determine a derivada das funções:
f(x)=(1+x)^e^-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = (1 + x)^e^-x.
O conteúdo envolvido é a diferenciação de uma função da forma u(x)^v(x). Para isso, vamos usar logaritmo natural e diferenciação implícita (log\mbox{-}diff).

Passo 2

Definimos
y = (1 + x)^e^-x
e aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = e^-x,ln(1 + x)

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem
ddx[ln y] = y'y,
e no direito usamos a regra do produto em e^-xln(1 + x):
ddx[e^-xln(1 + x)] = l(-e^-xr)ln(1 + x) + e^-x,11 + x
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y'y = -e^-xln(1 + x) + e^-x1 + x

Passo 4

Isolando y' e substituindo y=(1+x)^e^-x, obtemos
y' = yl(-e^-xln(1 + x) + e^-x1 + xr) = (1 + x)^e^-x,e^-x!l(11 + x - ln(1 + x)r)

Resposta

f'(x) = (1 + x)^e^-x,e^-x!l(11 + x - ln(1 + x)r)

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