Considere a função f(x)=(x^2-3) e^x.
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f, identifique e classifique seus pontos críticos.
(b) Estude a concavidade de f, identificando pontos de inflexão e obtenha as assíntotas horizontais, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá f(x)=(x^2-3)e^x. Em (a) vamos usar derivada primeira para achar os intervalos de crescimento/decrescimento e classificar pontos críticos. Em (b) usamos derivada segunda para estudar concavidade e inflexão, e limites em pminfty para achar assíntotas horizontais.

Passo 2

Calculamos a derivada usando produto: seja u(x)=x^2-3 e v(x)=e^x. Então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x,e^x+(x^2-3)e^x=e^xl(x^2+2x-3r)
Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0, logo
x^2+2x-3=0Longrightarrow x=-3,;1

Passo 3

Como e^x>0 sempre, o sinal de f'(x) é o sinal do trinômio x^2+2x-3, que é positivo para x<-3 e x>1, e negativo em -3<x<1. Assim
f cresce em (-infty,-3) e (1,infty).
f decresce em (-3,1).
Em x=-3 há mudança de crescente para decrescente (máximo local) e em x=1 mudança de decrescente para crescente (mínimo local).

Passo 4

Para a concavidade, derivamos novamente:
f''(x)=ddxl[e^x(x^2+2x-3)r] =e^x(x^2+2x-3)+e^x(2x+2) =e^xl(x^2+4x-1r)
Igualando a zero, obtemos pontos candidatos a inflexão em
x^2+4x-1=0 Longrightarrow x=-2pmraiz5

Passo 5

O sinal de f''(x) é o sinal de x^2+4x-1, que é positivo em (-infty,-2-raiz5) e (-2+raiz5,infty), e negativo em (-2-raiz5,-2+raiz5). Logo
f é côncava para cima em (-infty,-2-raiz5)cup(-2+raiz5,infty).
f é côncava para baixo em (-2-raiz5,-2+raiz5).
Os pontos x=-2pmraiz5 são pontos de inflexão.

Passo 6

Para assíntotas horizontais, estudamos
limxtoinfty(x^2-3)e^x=+infty, limxto-infty(x^2-3)e^x=0
(sabendo que e^x decai mais rápido que qualquer polinômio). Portanto há assíntota horizontal
y=0quando xto-infty,
e nenhuma em +infty.

Resposta

(a) Cresce em (-infty,-3) e (1,infty); decresce em (-3,1). Ponto crítico em x=-3 (máximo local) e em x=1 (mínimo local).
(b) Côncava para cima em (-infty,-2-raiz5)cup(-2+raiz5,infty), côncava para baixo em (-2-raiz5,-2+raiz5). Pontos de inflexão em x=-2pmraiz5. Assíntota horizontal y=0 para xto-infty.

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