Considere a função
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
, identifique e classifique seus pontos críticos.
(b) Estude a concavidade de
, identificando pontos de inflexão e obtenha as assíntotas horizontais, caso existam.
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(b) Estude a concavidade de
Passo 1
O enunciado dá
. Em (a) vamos usar derivada primeira para achar os intervalos de crescimento/decrescimento e classificar pontos críticos. Em (b) usamos derivada segunda para estudar concavidade e inflexão, e limites em
para achar assíntotas horizontais.
Passo 2
Calculamos a derivada usando produto: seja
e
. Então
Para achar pontos críticos, resolvemos
, logo
Passo 3
Como
sempre, o sinal de
é o sinal do trinômio
, que é positivo para
e
, e negativo em
. Assim
– cresce em
e
.
– decresce em
.
Em há mudança de crescente para decrescente (máximo local) e em
mudança de decrescente para crescente (mínimo local).
–
–
Em
Passo 4
Para a concavidade, derivamos novamente:
Igualando a zero, obtemos pontos candidatos a inflexão em
Passo 5
O sinal de
é o sinal de
, que é positivo em
e
, e negativo em
. Logo
– é côncava para cima em
.
– é côncava para baixo em
.
Os pontos são pontos de inflexão.
–
–
Os pontos
Passo 6
Para assíntotas horizontais, estudamos
(sabendo que
decai mais rápido que qualquer polinômio). Portanto há assíntota horizontal
e nenhuma em
.
Resposta
(a) Cresce em
e
; decresce em
. Ponto crítico em
(máximo local) e em
(mínimo local).
(b) Côncava para cima em , côncava para baixo em
. Pontos de inflexão em
. Assíntota horizontal
para
.
(b) Côncava para cima em