Determine a derivada das funções:
f(x)=x raiz[3]x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=xraiz[3]x+2=x,(x+2)^tfrac13
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e a regra da cadeia para potências. Vamos usar que, se f(x)=u(x),v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x),
e que, para v(x)=(x+2)^1/3, vale
v'(x)=tfrac13(x+2)^-2/3

Passo 2

Separemos a função em dois fatores:
u(x)=x e v(x)=(x+2)^1/3.
Então
u'(x)=1,
v'(x)=13(x+2)^-tfrac23

Passo 3

Aplicando a regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =1cdot(x+2)^tfrac13+xcdot13(x+2)^-tfrac23

Passo 4

Para deixar tudo num único quociente, note que
(x+2)^tfrac13 =3,(x+2)^tfrac13,(x+2)^tfrac233,(x+2)^tfrac23 =3(x+2)3,(x+2)^tfrac23,
então
f'(x) =3(x+2)3,(x+2)^tfrac23 +x3,(x+2)^tfrac23 =3x+6+x3,(x+2)^tfrac23 =4x+63,(x+2)^tfrac23

Resposta

f'(x)=4x+63,(x+2)^tfrac23

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