Determine a derivada das funções:
f(x)=e^x^2 ln (1+raizx)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^x^2lnl(1+raizxr)
Conteúdo: regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^x^2, v(x)=lnl(1+raizxr)
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a cadeia em e^x^2:
u'(x)=ddxe^x^2 =e^x^2cdotddx(x^2) =2x,e^x^2

Passo 4

Calculamos v'(x) para v(x)=lnl(1+raizxr). Primeiro a derivada do logaritmo e depois de 1+raizx:
v'(x) =11+raizxcdotddxl(1+raizxr) =11+raizxcdot12raizx =12raizx,l(1+raizxr)

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
f'(x) =(2x,e^x^2),lnl(1+raizxr) +e^x^2cdot12raizx,l(1+raizxr)

Passo 6

Fatorando e^x^2:
f'(x) =e^x^2gl[ 2x,lnl(1+raizxr) +12raizx,l(1+raizxr) gr]

Resposta

f'(x) =e^x^2gl[ 2x,lnl(1+raizxr) +12raizx,l(1+raizxr) gr]

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