Find the points on the given curve where the tangent line is horizontal or vertical.
r^2=sin 2 theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r^2=sin2theta
e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Vamos usar a fórmula da derivada dy/dx em coordenadas polares:
dydx =drdthetasintheta + rcostheta drdthetacostheta - rsintheta

Passo 2

Derivamos implicitamente r^2=sin2theta em relação a theta:
2rdrdtheta=2cos2theta Longrightarrow drdtheta=cos2thetar

Passo 3

Para tangente horizontal requeremos
dydx=0 Longrightarrow drdtheta,sintheta +rcostheta=0
Substituindo tfracdrdtheta e r^2=sin2theta, obtemos
cos2thetarsintheta + rcostheta=0 Longrightarrow cos2theta + r^2cottheta=0 Longrightarrow cos2theta +2sinthetacostheta,cottheta=0
Longrightarrow cos2theta +2cos^2theta=0 Longrightarrow 2cos^2theta-1+2cos^2theta=0 Longrightarrow 4cos^2theta=1
Longrightarrow costheta=pm12

Passo 4

Precisamos ainda que r^2=sin2theta>=0. Dessas soluções só ficam
theta=pi/3 e theta=4pi/3 (módulo 2pi), pois aí sin2theta=raiz3/2>0.
Para ambas
r^2=sin2theta=raiz32 Longrightarrow r=raizraiz32
Logo os pontos de tangente horizontal são
l(r,thetar) =l(raiztfracraiz32,,,tfracpi3r) e l(raiztfracraiz32,,,tfrac4pi3r)

Passo 5

Para tangente vertical requeremos denominador nulo:
drdthetacostheta -rsintheta=0
Substituindo tfracdrdtheta=cos2theta/r
cos2thetarcostheta =rsintheta Longrightarrow cos2thetacostheta =r^2sintheta =2sinthetacostheta,sintheta
Longrightarrow costhetal(cos2theta-2sin^2thetar)=0 Longrightarrow costheta=0 ;ou; cos2theta-2sin^2theta=0
A segunda dá
cos2theta=2sin^2theta Longrightarrow 2cos2theta=1 Longrightarrow cos2theta=tfrac12 Longrightarrow theta=pmtfracpi6+pi n

Passo 6

Da condição de r^2=sin2theta>=0 restam theta=pi/6 e theta=7pi/6. Para ambos
r^2=sin2theta=raiz32 Longrightarrow r=raizraiz32
Portanto os pontos de tangente vertical são
l(r,thetar) =l(raiztfracraiz32,,,tfracpi6r) e l(raiztfracraiz32,,,tfrac7pi6r)

Resposta

Tangente horizontal em
(raiztfracraiz32,,pi/3) e (raiztfracraiz32,,4pi/3).
Tangente vertical em
(raiztfracraiz32,,pi/6) e (raiztfracraiz32,,7pi/6).

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