Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}
Isso envolve derivadas de funções trigonométricas e a aplicação da regra do quociente.

Passo 2

Seja
u(x)=1-\cos x, \quad v(x)=1+\cos x.
Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\sin x, \quad v'(x)=-\sin x.
Substituindo no quociente,
f'(x) = \frac{\sin x\,(1+\cos x)-(1-\cos x)\,(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}.

Passo 4

No numerador temos
\sin x\,(1+\cos x)+(1-\cos x)\,\sin x =\sin x\bigl[(1+\cos x)+(1-\cos x)\bigr] =2\sin x.
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f'(x)=\frac{2\sin x}{(1+\cos x)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\sin x}{\bigl(1+\cos x\bigr)^2}.

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