Encontre a derivada da função f(x)=\left(\frac{3 x+2}{x+1}\right)^{3} nos pontos 0,-2 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\left(\frac{3x+2}{x+1}\right)^{3}
nos pontos 0, -2 e 2.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia (para potenciação) combinada com a regra do quociente (para derivar \frac{3x+2}{x+1}).

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra da cadeia: se
f(x)=\bigl(h(x)\bigr)^{3},
então
f'(x)=3\bigl(h(x)\bigr)^{2}\,h'(x).
Aqui h(x)=\frac{3x+2}{x+1}. Usando a regra do quociente:
h'(x) =\frac{(3)(x+1)-(3x+2)\cdot1}{(x+1)^{2}} =\frac{3x+3-3x-2}{(x+1)^{2}} =\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Logo,
f'(x) =3\left(\frac{3x+2}{x+1}\right)^{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}} =3\,\frac{(3x+2)^{2}}{(x+1)^{4}}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=0:
f'(0) =3\,\frac{(3\cdot0+2)^{2}}{(0+1)^{4}} =3\,\frac{2^{2}}{1} =3\cdot4 =12.

Passo 4

Em x=-2:
f'(-2) =3\,\frac{(3\cdot(-2)+2)^{2}}{(-2+1)^{4}} =3\,\frac{(-6+2)^{2}}{(-1)^{4}} =3\,\frac{(-4)^{2}}{1} =3\cdot16 =48.

Passo 5

Em x=2:
f'(2) =3\,\frac{(3\cdot2+2)^{2}}{(2+1)^{4}} =3\,\frac{(6+2)^{2}}{3^{4}} =3\,\frac{8^{2}}{81} =\frac{3\cdot64}{81} =\frac{192}{81} =\frac{64}{27}.

Resposta

f'(0)=12 f'(-2)=48 f'(2)=\tfrac{64}{27}

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