Considere a função f(x)=\frac{x^{a+1}}{x+a} em que a é uma constante real. Determine os valores de a para que f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{a+1}}{x+a}
com a real constante, e pede os valores de a tais que
f'(1)=\frac{1}{2}.
O conteúdo aqui é derivada de quociente e resolução de equação algébrica.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente: para
g(x)=x^{a+1},\quad h(x)=x+a,
temos
g'(x)=(a+1)x^a,\quad h'(x)=1,
e
f'(x)=\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{[h(x)]^2}.

Passo 3

Substituindo g, g', h e h' na expressão de f'(x),
f'(x) =\frac{(a+1)x^a\,(x+a)-x^{a+1}\cdot1}{(x+a)^2} =\frac{(a+1)x^{a+1}+a(a+1)x^a - x^{a+1}}{(x+a)^2}.
Agrupando termos:
(a+1)x^{a+1}-x^{a+1}=a\,x^{a+1},
então
f'(x) =\frac{a\,x^{a+1}+a(a+1)x^a}{(x+a)^2} =\frac{a\,x^a\bigl(x+a+1\bigr)}{(x+a)^2}.

Passo 4

Agora impomos x=1 e igualamos a \tfrac12:
f'(1) =\frac{a\cdot1^a\bigl(1+a+1\bigr)}{(1+a)^2} =\frac{a\,(a+2)}{(a+1)^2} \stackrel{!}{=}\frac12.
Multiplicando em cruz:
2a(a+2)=(a+1)^2.

Passo 5

Desenvolvendo,
2a^2+4a = a^2+2a+1 \quad\Longrightarrow\quad a^2+2a-1=0.
Essa é uma equação quadrática com discriminante \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=8. Logo,
a=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2} =-1\pm\sqrt2.

Resposta

As soluções são
a=-1+\sqrt2 \quad\text{e}\quad a=-1-\sqrt2.

Exercícios relacionados