Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\ln (4 x-2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(4x-2\bigr).
O conteúdo envolvido é a derivada do logaritmo natural combinada com a regra da cadeia, pois temos uma função composta.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=4x-2,
de modo que
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
Para usar a regra da cadeia, precisamos de u'(x). Como u(x)=4x-2, temos
u'(x)=4.

Passo 3

A derivada de \ln(u) em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr) =\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u(x)=4x-2 e u'(x)=4, obtemos
f'(x)=\frac{4}{4x-2}.

Passo 4

Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2, se desejar:
f'(x)=\frac{4}{4x-2} =\frac{2}{2x-1}.

Resposta

f'(x)=\frac{4}{4x-2} \quad\text{(ou)}\quad f'(x)=\frac{2}{2x-1}.

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