Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples.
f(x)=(1+raiz[3]x)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = l(1 + raiz[3]xr)^3
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia juntamente com a derivada de x^1/3.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia. Definimos a função interna
u(x) = 1 + x^tfrac13
e a externa
g(u) = u^3
Então f(x) = gl(u(x)r) e, pela regra da cadeia,
f'(x) = g'(u(x)) cdot u'(x)

Passo 3

Primeiro calculamos g'(u). Como g(u)=u^3, temos
g'(u) = 3,u^2
Agora derivamos u(x). Como u(x)=1 + x^1/3, a derivada de 1 é zero e a derivada de x^1/3 é
u'(x) = 13,x^-tfrac23

Passo 4

Substituindo em f'(x)=g'(u(x)),u'(x), obtemos
f'(x) = 3l(1 + x^tfrac13r)^2;times;13,x^-tfrac23
O fator 3 no numerador cancela com o tfrac13, ficando

Passo 5

f'(x) = l(1 + x^tfrac13r)^2;x^-tfrac23
Podemos também escrever x^-tfrac23 = tfrac1x^2/3, se preferir.

Resposta

f'(x) = l(1 + x^tfrac13r)^2,x^-tfrac23

Exercícios relacionados